Учебная презентация "Сфера и шар"

Определение. - сфера - шар 2. Касательная плоскость к сфере. - доказательство теоремы 3. Площадь сферы. 4. Объём шара(доказательство теоремы) - продолжение доказательства 5. Объём шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. - объём шарового сегмента - объём шарового слоя - объём шарового сектора 6. Задачи для самостоятельного решения.

Сфера-это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (центра сферы). О- центр сферы О R

Шар- это тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы называются, центром, радиусом и диаметром шара. О R

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. А-точка касания О А ƒ К теореме

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. ƒ А О

Рассмотрим плоскость ƒ, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА ┴ ƒ. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости ƒ, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости ƒ меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость ƒ-касательная, т.е. сфера и плоскость ƒ имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА ┴ ƒ. Теорема доказана. ƒ А О

Для определения площади сферы нужно воспользоваться понятием описанного многогранника. Многогранник является описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Формула

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке О и описанный около неё многогранник, имеющий n граней. Занумеруем грани в произвольном порядке и обозначим через Si площадь i-й грани (i=1,2, …, n). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим n пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами – радиусы сферы, проведённые в точки касания граней многогранника со сферой.

n где Рn= ∑ Si – площадь поверхности многогранника. i=1 Следовательно, объём i-й пирамиды равен 1/3 SiR, а объём Vn всего описанного многогранника равен n n Vn=∑ 1/3 SiR=1/3R∑ Si=1/3 RPn, i=1 i=1 Отсюда Рn=3Vn/R

Поэтому Так как при δ→0, то и Переходя к пределу в равенстве, получим По определению площади сферы S=lim Pn, n→∞ 4/3πR³<Vn<4/3π(R+δ)³ 4/3π(R+ δ)³→4/3 πR³ Vn→4/3πR³при δ→0 (n→ ∞) lim Pn=lim 3Vn/R=3/R lim Vn=3/R*4/3πR³=4πR². n→∞ n→∞ n→∞ следовательно, S=4πR².

Объём шара радиуса R равен 4/3πR³. Х С В Х О М Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(x), где х - абсцисса точки М. Выразим S(x) через x и R.

Из прямоугольного треугольника ОМС находим: r= √ОС2-ОМ2=√R-х2. Так как S(x)= πr2, то S(x)= π(R2-x2) Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию –R ≤ x ≤ R.

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = -R, b = R, получим R R R R R V=∫π(R²-x²)dx= πR²∫dx- π∫x²dx=πR²x│ -πx3/3│= -R -R -R -R -R = 4/3πR³

C X A O B AB=h ƒ Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке секущая плоскость ƒ, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг получившийся в сечении называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегментов

V=πh²(R-1/3h). Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке h=АВ), то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле Определение шарового сегмента

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов. (Так, на рисунке объём шарового слоя равен разности объёмов шаровых сегментов, высоты которых равны АС и АВ.) > Шаровой слой А В

O R r h Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле V=2/3 πR²h. Определение шарового сектора

1. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см. (Ответ: 6 см) 2. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ= 13 см, ВС= 14 см, СА= 15 см. (Ответ: 3 см) 3. Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см. (Ответ: 58 500π см³)

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.