Калькулятор онлайн.Вычисление угла между двумя плоскостями

Онлайн калькулятор для вычисления угла между двумя плоскостями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей. В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой. Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Ввод: -2/3 Результат: $ -\frac $

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: -1&5/7 Результат: $ -1\frac $

Введите числа A, B, C общих уравнений двух плоскостей Числа D вводить не нужно - в расчетах они не используются Вычислить угол между плоскостями

Немного теории.

Общее уравнение плоскости

Пусть заданы: прямоугольная система координат Oxyz, произвольная плоскость $ \pi $; точка $ M_0(x_0;y_0;z_0) \in \pi $; вектор $ \vec(A;B;C) $, перпендикулярный плоскости $ \pi $ (смотри рисунок).

Рассмотрим произвольную точку М(х; у; z). Точка М лежит на плоскости $ \pi $ тогда и только тогда, когда векторы $ \vec $ и $ \vec $ взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора $ \vec $ равны $ x-x_0, \; y-y_0, \; z-z_0 $ , то в силу условия перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение должно быть равно нулю) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости $ \pi $ тогда и только тогда, когда

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду $ Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0 $ Далее, обозначая число $ -Ax_0-By_0-Cz_0 $ через $ D $, получаем

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость. Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение $ Ax+By+Cz+D=0 $ с произвольными коэффициентами А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение $ x_0, \; y_0, \; z_0 $ ( если, например, $ C \neq 0 $, то, взяв произвольные х0, и y0, из уравнения получим: $ z_0 = -\fracx_0 - \fracy_0-\frac $ ).

Таким образом, существует хотя бы одна точка M0(x0; y0; z0), координаты которой удовлетворяют уравнению, т.е. Ax0+By0+Cz0+D=0. Вычитая это числовое равенство из уравнения Ax+By+Cz+D=0, получаем уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D=0, эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение Ax+By+Cz+D=0 ) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет плоскость $ \pi $, проходящую через точку M0(x0 и перпендикулярную вектору $ \vec(A;B;C) $.

Вектор $ \vec(A;B;C) $, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором или нормалью этой плоскости.

Теорема Если два уравнения $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 $ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 $ определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны, т.е. $$ \frac = \frac = \frac = \frac $$

Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим две плоскости $ \pi_1 $, и $ \pi_2 $, заданные соответственно уравнениями

При любом расположении плоскостей $ \pi_1 $, и $ \pi_2 $ в пространстве один из углов $ \varphi $ между ними равен углу между их нормалями $ \vec(A_1;B_1;C_1) $ и $ \vec(A_2;B_2;C_2) $ и вычисляется по следующей формуле: $$ \cos \varphi = \frac < \vec\cdot \vec>< |\vec| |\vec| > = \frac \tag $$

Второй угол равен $ 180^\circ -\cos \varphi $

Условие параллельности плоскостей

Если плоскости $ \pi_1 $ и $ \pi_2 $ параллельны, то коллинеарны их нормали $ \vec $ и $ \vec $, и наоборот. Но тогда $$ \frac = \frac = \frac \tag $$ Условие (4) является условием параллельности плоскостей $ \pi_1 $ и $ \pi_2 $

Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости $ \pi_1 $ и $ \pi_2 $ взаимно перпендикулярны, то их нормали $ \vec $ и $ \vec $ также перпендикулярны, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей $ \pi_1 $ и $ \pi_2 $: $ A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0 $
📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎