дифференциальные-уравнения - Всплывание шарика

Шарик от пинг-понга погрузили в водоем на небольшую глубину и отпустили. С каким ускорением он будет всплывать? Массой шарика, вязкостью и трением пренебречь.

Пишу ответы на комментарии, т.к. лимит комментариев исчерпан.

Ответ на комментарий @at1. ". А если сохраняет форму -- то какой же это газ? " Именно поэтому я написал в условии не "пузырек газа", а "пингпонговый шарик" - невесомая твердая сферическая гладкая оболочка, внутри которой вакуум (или газ). Эффекты изменения объема и формы на самом деле несущественны и для пузырька с газом, но я упростил постановку задачи для того, чтобы абстрагироваться от этих тонкостей.

задан 8 Окт '12 23:18

Чем плохи такие задачи - проверить-то невозможно! Так что неясно, "а судьи кто?"

Это физика. А в физике судья один - Его Честь Эксперимент. А что касается этой задачи - у нее простой ответ, но очень сложное и громоздкое чисто математическое решение (нужно решать УЧП). Я ее забросил с расчетом - вдруг у кого-то получится простое короткое решение.

Где же взять эксперимент, в котором нет вязкости, трения и , тем более, массы шарика? Если это "дырки" в воде - как их создать и померить? Нет, такие задачи решаются только умственно ((

Это Вы зря. Как известно, точное решение физической задачи в принципе невозможно, потому что любой физический объект подчиняется сразу всем физическим законам, включая еще не открытые. Построение физической модели собственно и заключается в оценке "удельного веса" всех физических эффектов и в решении вопроса - какие из них мы учитываем, а какими пренебрегаем. То же самое относится к эксперименту - обязательно оцениваются погрешности со стороны всех факторов. Задач, в которых можно пренебречь вязкостью очень много. Практических приложений и экспериментов по пузырькам газа в воде - еще больше.

Вообще-то это задача на понимание физики. Возможно, на математическом форуме она и не очень уместна, но уж очень интересная.

Да уж! Я только читаю эту "серию" задач и чувствую свою полную тупость . (( Как только математик сходит с прочного основания аксиом, он(а) превращается в несмышленое дитя! ))))

Ладно, ладно, Ирина, давайте без кокетства. Уж Вам-то обвинение в тупости точно не грозит!

Нет, я не шучу! Математическое и физическое мышление - "две большие разницы". В математике я привыкла учитывать все ограничения, а в физике их надо отбрасывать - совершенно другое умственное действие! Тут нужно чутье, да и практический опыт. В универе по физике у меня всегда было 5, ну, так там она как раз "умозрительная". Нужно было только разобрать стандартные ситуации используя математический аппарат (с этим проблем не возникало).

Но на Ваши физические задачи я даже и не пытаюсь ответить, только наблюдаю, как за боем гладиаторов в Колизее!

@Андрей Юрьевич, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

4 ответа

По закону Архимеда, на шарик будет действовать сила, по модулю равная весу вытесненной им воды: $%F=\rho_WgV$%, где $%\rho_W$% - плотность воды, $%g$% - ускорение свободного падения, $%V$% - объем шарика. Разделим силу на массу шарика и вычтем ускорение свободного падения, чтоб получить ускорение шарика: $%a=\frac-g=\frac-g=g\left(\frac-1\right)$%, где $%m_B$% и $%\rho_B$% - масса и плотность шарика, соотв. Вывод: нельзя пренебрегать массой шарика, т.к. она оказывает решающее влияние на его ускорение.

отвечен 8 Окт '12 23:36

Масса шарика равна нулю. Но пусть даже это не так, предположим он заполнен воздухом. Вы что, всерьез считаете, что он будет всплывать с ускорением $%800g$%?! А если водородом? У Вас получится $%23000g$%!

Этого не произойдет из-за поверхностного натяжения, вязкости, трения и еще кучи других сил, которыми Вы благородно пренебрегли :) К тому же, кое-какой массой (большей, чем масса воздуха) шарик таки обладает из-за его стенок.

Стенок может и не быть, предположим, что это не шарик, а просто газовый пузырек. А что касается пренебрежения другими силами. Ну, пусть это будет пузырек гелия в сверхтекучем жидком гелии. Там этих сил нет в принципе. В общем, суть не в этом. Ускорение получится конечным и совсем не запредельным. Поставленная задача - это задача о движении в среде. Ваше решение можно применять только в том случае, если движение самой среды - поправка. У нас же прямо противоположный случай.

Не понял? Что за поправка? И как Вы можете ставить задачу о движении в среде, если просите пренебрегать всеми силами, которые порождает эта среда? Вы говорите о движении самой среды. Это движение и порождает вязкость.

Еще на шарик действует сопротивление поверхности $%F=kSv^2$%. Можно хоть им не пренебрегать?

Насчет вязкости Вы не правы. Вязкость - это диссипативная характеристика. Сверхтекучий гелий тоже движется но его вязкость строго равна нулю. В этой задаче шарик вообще нельзя рассматривать как тело, т.к. его масса равна нулю. Он здесь аналогичен "дырке" в полупроводнике.

@Андрей Юрьевич Вы уж определитесь: 1. это "шарик" т.е. твердое тело, 2. или это некоторый кусок вакуума в жидкости, который хоть и имеет конечный объём в начальный момент времени, но сразу "схлопнется" 3. Или кусок другого газа "не имеющего массы". Это что тогда? Не могу себе представить молекулы газа без массы.

Если Вы имеете в виду именно "сверхтекучий гелий", а не шарик, то напишите это в условии.

@at1, как я уже сказал, в физических задачах первый и самый главный этап определить, какие эффекты мы учитываем, а какими пренебрегаем. Например, рассматривая движение брошенного камня мы учитываем влияние Земли на движение камня, но не учитываем влияние камня на движением Земли. И не учитываем влияние Луны на камень и еще много чего. В данной задаче я сразу перечислил эффекты и параметры, которыми нужно пренебречь - масса шарика равна нулю, вязкость отсутствует, объем постоянен. Можете мне поверить, что такая постановка вполне адекватна для реальных пузырьков газа в воде.

@Андрей Юрьевич, очень хотелось узнать сохраняет ли оно форму, или только объём. Потому что, если нет, то вода просто упадет на это невесомое чудо, расплющив его в бесконечно тонкий слой (т.е. всплывать никто не будет). А если сохраняет форму -- то какой же это газ? Мне не осознать условие пока =(

Ускорение шарика будет равно $%2g$%.

Ответ зависит от формы - для несферических тел он будет другим, но по порядку величины это всегда будет $%g$%, т.е. $%a = k \cdot g$%, где формфактор $%k$% имеет порядок 1.

Задача обсуждается, например, здесь (там же есть ссылки на Квант). Для того, чтобы получить правильный ответ, нужно решить уравнение Навье-Стокса c нулевой вязкостью и с граничными условиями на сфере в движущейся системе координат. По всей видимости, ничего более простого не получается.

Оригинально, но, к сожалению, неправильно. Начну издалека. С точки зрения механики Ньютона мир состоит из материальных точек (частиц), для каждой из которых можно написать уравнение движения (второй закон Ньютона) в виде $%m_i \frac=\sum_j$%, где $% \vec$% -$%j$%-я сила, действующая на $%i$%-ю частицу. Это принципиальный момент: на каждую частицу действуют свои силы, и нельзя силы, действующие на одну частицу "приписывать" другой. Вместо второго закона Ньютона можно записать законы сохранения энергии и импульса - это сути не изменит, т.к. в механике эти законы эквивалентны законам Ньютона. Теперь вернемся к нашей задаче. Рассмотрим сначала ее в более общей постановке с шариком, наделенным массой. В этом случае нам нужно было бы записать уравнения движения и для шарика, и для всех частиц воды - это наиболее общая и строгая постановка задачи. Так вот, при такой постановке задачи сила сопротивления, которую Вы выписали, действовала бы именно НА ШАРИК! Обычно, когда рассматривают движение тел в среде, от движения самой среды отвлекаются и рассматривают именно движение тела, на которое действуют какие-то силы. Но у нас противоположный предельный случай. У нас тела нет, а есть только среда, и только ее движение нужно рассматривать. И сила, которую Вы выписали из Википедии здесь ни при чем! Если исходить из закона сохранения энергии, то он здесь имеет очень простой вид (формально): потенциальная энергия частиц воды переходит в их кинетическую энергию. Но! Двигаться будет вся вода, находящаяся выше шарика, причем весьма сложным образом. В частности, это движение никак нельзя считать одномерным. Решение уравнение Навье-Стокса как раз и даст структуру поля скоростей, т.е. картину движения воды.

Дополнение 2 (ответ на комментарии @АлекСт ). Уважаемый @АлекСт, неправы в данном случае Вы. Я не случайно начал Дополнение 1 с фундаментальных законов механики. Для того, чтобы говорить о какой-либо силе, нужно понимать, к чему эта сила приложена. А приложена сила в механике может к двум объектам 1) к материальной точке, 2) к материальному телу - некоторой устойчивой и качественно определенной совокупности материальных точек. Говорить о какой-то силе, которая неизвестно к чему приложена бессмысленно. Если бы мы рассматривали движение, например, стального шарика в воде, эта формула была бы весьма уместна. Но нужно понимать, как она в этом случае работает: сила действует НА ШАРИК и меняет ЕГО скорость (а точнее, ЕГО ИМПУЛЬС) в соответствии со вторым законом Ньютона. Либо сила совершает работу НАД ШАРИКОМ и изменяет ЕГО КИНЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГИЮ в соответствии с законом сохранения энергии, который в данном случае эквивалентен второму закону Ньютона. У пузырька в данной задаче масса равна нулю, соответственно, изменение и его импульса, и его кинетической энергии равны нулю. Соответственно, работа любой силы НАД НИМ также равна нулю. Соответственно, в энергечиском балансе никакой дополнительной силы не будет. Да и откуда ей взяться? У нас есть только идеальная жидкость, которая перетекает из одного места в другое и никаких других материальных объектов в задаче просто нет. А у идеальной жидкости есть только плотность кинетической энергии (кинетическая энергия на единицу объема) и плотность потенциальной энергии в поле тяжести. И никаких других энергий или "работ" над ее частицами просто нет!

P.S. Впрочем, некоторая доля истины в Вашем решении есть. Если отбросить введенную Вами силу, то из записанного Вами баланса энергии получается $%\frac=g$%, что верно в качестве грубой оценки.

Дополнение 3 (ответ на комментарии @АлекСт ). Единственное, что я могу Вам посоветовать - прочитать более внимательно первый абзац моего Дополнения 1. Или прочитать то же самое в любом хорошем учебнике общей физики.

Дополнение 5 (для @nikolaykruzh. ) 1) "...итак, ускорение шарика в принципе есть вторая производная от глубины погружения со знаком минус" - что это значит? По какой переменной производная? 2) "...поэтому оно не может быть больше ускорения силы тяжести (в противном случае вечный двигатель, наконец-то, становится долгожданной реальностью)" - это неправильно, вечный двигатель здесь совершенно ни при чем. Представьте следующую модель. Невесомая балка опирается на точечную опору в некоторой своей точке, находящейся не посредине. На краю длинного плеча лежит пингпонговый шарик. Вы садитесь на край короткого плеча и начинаете двигаться вниз с ускорением $%g$%. С каким ускорением будет двигаться вверг шарик? Если Вы считаете, что это конструкция вечного двигателя - можете подавать заявку на патент.

Дополнение 6 (для @nikolaykruzh. ) ". потому что не только меня на коротком конце - вообще никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет" - в примере с балкой тоже никаких внешних сил, кроме силы тяготения, нет. Вы - это аналог воды, шарик - это шарик, а балка - модель их взаимодействия (вернее воздействия). Правда, о "взаимодействии" или о "воздействии" можно говорить только в том случае, если масса шарика мала, но, все-таки, не равна нулю. А объект с нулевой массой вообще физическим объектом не является и может двигаться как угодно. Есть примеры, когда подобные нефизические объекты двигаются, например, быстрее света. Заявку я подавать не буду, потому что, как я уже сказал, к вечному двигателю все это не имеет никакого отношения. С производной я ничего не понял. Для того, чтобы взять производную, нужно иметь аргумент и функцию этого аргумента. У Вас же и то $%z$%, и это $%z$%. Ну, тогда производная просто равна единице!

Дополнение 7 (ответ на комментарии @АлекСт ). 1) Вообще-то, я дал ссылку на статью в Кванте (см. начало ответа), там приведено полное решение для цилиндрического "шарика" и ответ для сферического. Если этого недостаточно - напишу полное решение для сферического шарика, когда будет чуть больше времени - оно очень громоздкое. 2) Если знаменатель дроби стремится к нулю, а дробь имеет конечный предел, то числитель тоже должен стремиться к нулю. Почему дробь должна иметь конечный предел? Потому, что иначе получится бесконечное ускорение, а это уж точно противоречит любому физическому смыслу.