Ответы к заданиям части 1. задания Ответ В1 5 В2 3 В3 28 В В5 592 В6 14 В7 2 В8 7 В9 2 В10 0, 4 В11 58 В12 45 В13 14 В14 27

1 Ответы к заданиям части 1 задания Ответ В1 5 В В 8 В4 90 В5 59 В6 14 В В8 В9 В10 0, 4 В11 58 В1 45 В1 14 В14 Ответы к заданиям части МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) задания Ответ С1 π а) x = + πk, k ; б) С arctg 4π С 1+ log5 4 1 ; С4 1:8 или 1: С5 8; С6 а) да; б) нет; в) да

2 МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) С1 π a) Решите уравнение ( 1+ tg x ) cos x = б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку π π; а) Преобразуем уравнение: 1 sin x cos x = sin xcos x ; cos x π Получаем: x = + πk, k = ; tg x = 4π π б) Отрезку π; принадлежит 4π единственный корень π Ответ: а) x = + πk, k ; б) 4π 0 π π π Баллы Критерии оценивания выполнения задания С1 Уравнение решено верно, указаны все корни, принадлежащие отрезку 1 Уравнение решено верно, однако корни, принадлежащие отрезку, не указаны или указаны неверно Максимальный балл

3 МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) В правильной четырехугольной призме пирамиде SABCD с вершиной S боковые ребра вдвое длиннее сторон основания Точка M середина ребра SC Найдите угол между плоскостью ADM и плоскостью основания Проведем из точки M перпендикуляры MP к плоскости основания и MH к ребру AD Прямая PH перпендикулярна AD, так как MH AD и MP AD Значит, угол MHP линейный угол искомого угла Длина MP равна половине высоты пирамиды SO, которую найдем из треугольника SOD Приняв длину стороны основания за a, получаем: a ( ) SO = SD OD = a = a Следовательно, MP a tg MHP = = : a = HP 4 4 A B Длина HP равна 4 a S O H D M C Ответ: arctg Баллы Критерии оценивания выполнения задания С Обосновано получен верный ответ 1 Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено Максимальный балл

4 МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) С Решите систему: x x , logx+ 1 ( 4x 4x + 1) log1 x ( + 4x) Решим первое неравенство: + log 5 x 5 ; x log5 ; x Решим второе неравенство: logx+ 1 ( x 1) log1 x ( + 4x ) Переходя в первом логарифме к основанию 1 x, а во втором к основанию x + 1, получаем: log 1 x log 4x + ; 1 x ( ) x+ 1 ( ) ( x ) ( x ) ( ) log1 x 1 logx+ 1 + logx При условиях 1 x > 0 и 1 x 1 находим: ( logx ) ; logx+ 1 0; x + 1 > 1; x > 0 1 Следовательно, 0 < x < Решением системы является общая часть решений двух неравенств 1+ log 5 Сравним числа 4 и 1 : Поскольку log5 0 4 <, получаем: 1+ log5 5 < 4 45 < 56; 4 1 x < 1 log5 Ответ: ; Баллы Критерии оценивания выполнения задания С Обосновано получен верный ответ Оба неравенства системы решены верно, но система решена неверно 1 Либо верно решено только одно из двух неравенств системы, либо в решениях двух неравенств содержатся арифметические ошибки

5 Максимальный балл МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) С4 В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 1: Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка H основание высоты Из точки H опущен перпендикуляр HE на боковую сторону трапеции В каком отношении точка E делит боковую сторону? Пусть из вершины B трапеции ABCD опущена высота BH на основание AD Пусть основания равны AD = 4x и BC = x AD BC AD + BC AH = = x, а DH = = x Суммы противоположных сторон трапеции равны, поэтому AB также AD + BC равняется = x 1 случай: точка E лежит на стороне AB B C Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу: AH = AE AB, откуда AH 1 AE = = x Следовательно, E AB 8 A H D BE = AB AE = x, и AE : BE = 1:8 B C случай: точка E лежит на стороне CD По гипотенузе и острому углу DEH = AHB Поэтому DE = AH = x, а CE = CD DE = x, откуда DE : CE = 1: E Ответ: 1:8 или 1: A H D Баллы Критерии оценивания выполнения задания С4 Обосновано получен верный ответ Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины 1 Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

6 Максимальный балл МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) С5 При каких a уравнение x x + a + x = 9 имеет ровно три корня? Запишем уравнение в виде x x + a = 9 x Построим график функций y = x x + a и y = 9 x Из рисунка видно, что подходящих значений a ровно два при одном из них график левой части проходит через точку ( 9; 0 ), при втором касается прямой y = x + 9 В первом случае a =, во втором уравнение x + x a = 9 x имеет единственный корень Приравнивая дискриминант к нулю, находим: a = 8 y y = x x 8 9 y = x x -9 9 x Ответ: 8; Баллы Критерии оценивания выполнения задания С5 4 Обосновано получен верный ответ Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности Ход решения в целом верен, но полученный ответ отличается от верного конечным числом значений параметра 1 Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе без модулей, дальнейшие содержательные продвижения отсутствуют 4 Максимальный балл С6 Числа от до 11 записаны в строчку в некотором порядке Всегда ли можно вычеркнуть несколько чисел так, чтобы осталось: а) три числа в порядке возрастания или в порядке убывания? б) пять чисел в порядке возрастание или в порядке убывания?

7 МАТЕМАТИКА, 11 класс ( / ) в) четыре числа в порядке возрастания или в порядке убывания? а) Да, всегда Если и 11 стоят не подряд, то они вместе с любым числом между ними дают нужную тройку Если и 11 стоят подряд, то либо перед ними, либо после них есть пара чисел Добавляя к ней либо либо 11 получим требуемое б) Если числа стоят например в порядке 8,,9,5,11. 6,4,10, то выбрать нельзя В самом деле, возрастающая последовательность из пяти чисел не может содержать более чем по одному числу из каждого из наборов ( 8,,5, ), ( 9,6,4 ), ( 11,10 ), ( ) Аналогично убывающая последовательность из пяти чисел не может содержать более чем по одному числу из каждого из наборов 8;9;11;,,4,10; 5,6; ; в) Да, всегда Запишем над каждым числом пару чисел ( a, b ), где a длина наибольшей возрастающей последовательности, начинающейся с этого числа, b наибольшей убывающей Все пары ( a, b ) различны (если, например, первое число левее и меньше второго, то можно взять возрастающую последовательность со второго и удлинить ее первым числом, аналогично разбираются остальные варианты) Но пар из чисел от 1 до всего 9 штук, а чисел 10, поэтому в каких-то парах попадутся числа, не меньшие четырех Ответ: а) да; б) нет; в) да Баллы Критерии оценивания выполнения задания С6 4 Верно решены все три пункта Верно решены два пункта: а) и б) или б) и в) Верно решены два пункта: а) и в) или один пункт б) 1 Верно решен только один из пунктов: а) или в) 4 Максимальный балл