ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1 ТЕМА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения, ее свойства. Арифметические операции над случайными величинами. Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Виды распределений. Если множеством значений случайной величины является конечное (или счетное) множество чисел, не имеющее предельной точки, то такие случайной величины называются дискретными. Распределением дискретной случайной величины X называется функция, сопоставляющая каждому возможному значению вероятность ( 0 ), причем =. случайной величины ее Данную функцию (закон распределения) дискретной случайной величины (ДСВ) принято задавать таблицей (табл. ). Х Общий вид закона распределения n n Таблица ДСВ X имеет биноминальное распределение, если она принимает значения. n с вероятностями n ( X = ) = ( ), 0 < < n. ДСВ X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения. (счетное множество) с вероятностями λ e λ = =.! ( X )

2 ДСВ X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения. n (возможно счетное множество) с вероятностями ( X = n) = ( ) n, 0 < <. ДСВ X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения. mn ( m, n) с вероятностями m n s n ( X = ) =, s, m s;, m, n, s N. m Математическим ожиданием ДСВ Х называется число Дисперсией ДСВ Х называется s [ X ] M =. () [ X ] = ( M [ X ]) D Справедлива формула, упрощающая вычисление дисперсии: [ ] = D X. (). () Средним квадратическим отклонением ДСВ Х называется величина [ X ] = D[ X ] σ = σ. В таблице приведены значения указанных числовых характеристики для основных законов распределений ДСВ. Значения основных числовых характеристик распределений ДСВ Распределение [ X ] M [ X ] D σ [ X ] Биноминальное n n n Таблица Пуассона m m m Геометрическое

3 Гипергеометрическое m n s m n n m m n ( s n)( s m) s s s s s Начальным моментом v порядка ДСВ называется число: α. (6) = m Центральным моментом порядка ДСВ Х называется число: Заметим, что = ( M [ X ]) = µ. (7) = m, [ X ] = ( M [ ]) µ = 0 µ = D α X. Коэффициентом асимметрии и эксцессом ДСВ Х называются соответственно числа: µ µ A = ; E =. (8) σ σ Пример 6.. Среди 0 изготовленных приборов неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение. Случайная величина Х число неточных приборов среди четырех отобранных может принимать значения = 0. Общее число способов выбора приборов из 0 определяется числом сочетаний 0. Число способов выбора четырех приборов, среди которых неточных приборов и ( ) точных = 0. определяется числом способов выбора неточных приборов из неточных на число способов выбора ( ) точных приборов из 7 точных определению вероятности 7, т.е. 7. Согласно классическому 7 =, = 0. ( X ) = 0

4 0 7 6 Учитывая, что =, =, = =, =, 7 = 7 = =, 7 6 =, 7 = =, 7 = 7, = 7 0 = ( X = 0) = =, ( X = ) 0, находим вероятности = =, ( X = ) = =, ( X = ) = =, т.е. искомый ряд распределения будет иметь такой вид: Х 0 /6 / /0 /0 Убеждаемся в том, что = =. = Вычисляем математическое ожидание (согласно ()): M [ X ] = =,, M X = = ) 0 0 и дисперсию (учитывая, что [ ], 0 [ X ] = M [ X ] M [ X ] ( ) =,0, = 0, 6 D. Упражнение 6.. Какие из перечисленных ниже случайных величин являются дискретными: а) число попаданий в мишень при десяти независимых выстрелах; б) отклонение размера обрабатываемой детали от стандарта; в) число нестандартных изделий, оказавшихся в партии из 00 изделий; г) число очков, выпавших на верхней грани при одном подбрасывании игрального кубика? Упражнение 6.*. Определите закон распределения вероятностей случайная величина, равной числу появления «герба» при пяти подбрасываниях монеты? 6

5 Решение. Анализ и решение задач, в которых требуется составить таблицу распределения вероятностей случайной величины, рекомендуется выполнять по следующей схеме:. Установите, что является случайной величиной в рассматриваемой задаче. Случайная величина X есть число появлений «герба».. Перечислите все возможные значения случайной величины. Так как производится пять подбрасываний монеты, то = 0, =, =, =, =, 6 =.. Из условия задачи установите закон распределения вероятностей случайной величины. Поскольку испытания удовлетворяют схеме Бернулли, случайная величина X имеет биноминальное распределение.. Используя соответствующую формулу, найдите вероятности появления возможных значений случайной величины. Используя формулу Бернулли ( X = m) 7 = m m m, находим: ( X = 0) = ; ( X = ) = ; ( X = ) = ; ( X = ) = ; ( X = ) = ; ( X = ) =.. Составьте таблицу распределения случайной величины и проверьте, что =. Ответ: X 0 Упражнение 6.. В отделе технического контроля прошла проверку партия предохранителей. Из семи предохранителей четыре оказались исправными. Наудачу извлекаются три предохранителя. Определите закон распределения вероятностей случайной величины, равной числу исправных предохранителей. Упражнение 6.. Монета подбрасывается четыре раза. Для случайного числа появления «герба» составьте таблицу вероятностей.

6 Упражнение 6.. По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полет три самолета. Каждый самолет с вероятностью 0,7 может произвести посадку по расписанию. Для случайного числа самолетов, отклонившихся от расписания, составьте таблицу распределения вероятностей. Упражнение 6.6. Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,. Стрелок, имея в запасе шесть патронов, ведет огонь по мишени до первого попадания или до полного израсходования всех патронов. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов. Упражнение 6.7. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа изделий, выдержавших испытание, если испытываются 600 деталей, а вероятность того, что изделие выдержит испытание, равна 0,00. Упражнение 6.8. Дискретная случайная величина Х имеет таблицу распределения вероятностей: 0, 0, 0, Составьте таблицу распределения вероятностей случайных величин Z = X. Y = X, Упражнение 6.9. Составьте таблицы распределения вероятностей для случайных величин Z = X + Y и Z = XY, если Х и Y независимые случайные величины, заданные таблицами распределения: 0 0 y Упражнение 6.0. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной таблицей распределения вероятностей: , 0, 0, 0, 0, 0 0 8

7 До выполнения задания вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение х = 6. Упражнение 6.. В апреле среднесуточная температура воздуха для некоторой местности удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей: t Найдите математическое ожидание среднесуточной температуры. Упражнение 6.. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими таблицами распределения: y 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Значения какой из этих случайных величин более рассеяны от их средних значений? Найдите M [ X + Y ] и [ X Y ] D +. Упражнение 6.. Случайная величина Х задана следующей таблицей распределения вероятностей: 6 0,0 0, 0, 0, 0, 0, Вычислите вероятность события ( σ X m + σ ) m. X Упражнение 6.. На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 0 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе. Упражнение 6.. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,00. X 9