Алгебра – 10 класс. Синус и косинус

Урок и презентация на тему: "Синус и косинус. Основное тригонометрическое тождество"

Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Что будем изучать: 1. Определение синуса и косинуса. 2. Определение тангенса и котангенса. 3. Основное тригонометрическое тождество. 4. Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса. 5. Основные свойства. 6. Синус и косинус в жизни. 7. Примеры и задачи.

Ребята, давайте отметим на числовой окружности точку $Р$. Посмотрите на рисунок, наша точка $Р$ соответствует некоторому числу $t$ числовой окружности, тогда абсциссу точки $Р$ будем называть косинусом числа $t$ и обозначать $cos(t)$, а ординату точки $Р$ назовем синусом числа $t$ и обозначим $sin(t)$.

А как будет выглядеть запись синуса и косинуса на математическом языке?

Наша точка $Р(t) = Р(x,y)$. Тогда: $x = cos(t)$, $y = sin(t)$.

Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности, запишем определения.

Отношение синуса числа $t$ к косинусу того же числа называют тангенсом числа $t$ и обозначают $tg(t)$. $tg=\frac$. Отношение косинуса числа $t$ к синусу того же числа называют котангенсом числа $t$ и обозначают $ctg(t)$. $ctg=\frac$.

Так как на 0 делить нельзя, то для тангенса: $cos(t) ≠ 0$, а для котангенса: $sin(t) ≠ 0$.

Давайте вспомним уравнение числовой окружности: $x^2 + y^2 = 1$. Нашему числу $Х$ соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу $Y$ – ордината. Тогда: $x^2+y^2=sin(t)^2+cos(t)^2=1$.

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

не сущ. – не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя.

Для любого числа $t$ справедливы равенства: $sin(-t) = -sin(t)$. $cos(- t) = cos(t)$. $tg(- t) = -tg(t)$. $ctg(- t) = -ctg(t)$.

$sin(t + 2π*k) = sin(t)$. $cos(t +2π*k ) = cos(t)$.

$sin(t + π ) = -sin(t)$. $cos(t +π ) = -cos(t)$.

$tg(t + π*k ) = tg(t)$. $ctg(t +π*k ) = ctg(t)$.

Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни? На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты и даже путешественники. В географии эти понятия применяют для измерения расстояний между объектами и в спутниковых навигационных системах. Пример 1. Вычислить синус и косинус $t$, при $t=\frac$.

Решение: Поскольку, числам $t$ и $t+2π*k$, $k$ – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, то: $\frac=(12 + \frac)*π = 12π + \frac=\frac + 2π*6$. Воспользуемся свойством: $sin(t + 2π*k ) = sin(t)$, $cos(t +2π*k)= cos(t)$. $sin(\frac + 2π*6) = sin(\frac) = sin(\frac + π)$. $cos(\frac + 2π*6) = cos(\frac)=cos(\frac + π)$. Воспользуемся свойством: $sin(t + π ) = -sin(t)$, $cos(t+π) =-cos(t)$. $sin(\frac + π)=-sin(\frac)$. $cos(\frac + π)=-cos(\frac)$. Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: $sin(\frac)=-\frac$; $cos(\frac)=-\frac$.

Пример 2. Вычислить синус и косинус $t$, при $t=-\frac$.

Решение: Поскольку, числам $t$ и $t+2π*k$, $k$ – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, тогда: $-\frac=-(16 + \frac)*π =-16π +(-\frac) = (-\frac) + 2π*(-8)$. Воспользуемся свойством: $sin(t + 2π*k ) = sin(t)$, $cos(t +2π*k)= cos(t)$. $sin(-\frac + 2π*(-8) )=sin(-\frac )$.

Воспользуемся свойством: $sin(- t) = -sin(t)$, $cos(- t) = cos(t)$.

Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: $sin(-\frac)=-\frac$; $cos(-\frac)=\frac$.

Пример 3. Решите уравнение и неравенство: а) $sin(t)=\frac$. б) $sin(t)>\frac$.

Решение: $sin(t)$ – это ордината точки числовой окружности (из определения). Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой $\frac$. Пусть, это будут точки F и G. Определим, каким значениям $t$ соответствуют точки $F$ и $G$ на рисунке. а) Точки $F$ и $G$ имеют координаты: $\frac +2 π*k$ и $\frac+2 π*k$. б) Точки, которые удовлетворяют неравенству $sin(t)>\frac$, расположены на дуге FG. Тогда: $\frac +2 π*k<t<\frac +2 π*k$. Ответ : a) $t=\frac+2 π*k$ и $t= \frac +2 π*k$. б) $\frac+2 π*k<t<\frac +2 π*k$.

Пример 4. Решить уравнение и неравенство: а) $cos(t)=\frac$. б) $cos(t)>\frac$.

Решение: $cos(t)$ – это абсцисса точки числовой окружности (из определения). Значит, на числовой окружности необходимо найти точки с абсциссой равной $\frac$. Пусть это будут точки F и G (см. рисунок). Надо определить, каким значениям $t$, они соответствуют. а) Точки F и G имеют координаты: $-\frac+2π*k$ и $\frac+2π*k$. б) Точки, которые удовлетворяют неравенству $cos(t)>\frac$, расположены на дуге FG. Тогда: $-\frac+2π*k<t<\frac+2π*k$.

Пример 5. Вычислить тангенс и котангенс $t$, при: $t=-\frac$. Решение:

Числам $t$ и $t+2π*k$, где k – целое число, соответствует одна точка числовой окружности, тогда: $-\frac = -(2 + \frac)*π = -2π +(-\frac) = (-\frac) + 2π$.

Воспользуемся свойством: $tg(x+ π*k) = tg(x)$, $ctg(x+π*k) = ctg(x)$. $tg((-\frac) + 2π ) = tg(-\frac)$. $сtg((-\frac) + 2π ) = сtg(-\frac)$. Воспользуемся свойством: $tg(-x) = -tg(x)$, $ctg(-x) = -ctg(x)$. $tg(-\frac)=-tg(\frac)$. $сtg(-\frac)=-сtg(\frac)$. Из таблицы значений получаем: $tg(-\frac) =-tg(\frac) = -\sqrt$. $сtg(-\frac) = -сtg(\frac) =-\frac$.

1) Вычислить синус и косинус $t$, при а) $t=\frac$, б) $t= -\frac$.