Запись условий задач линейного программирования

Определение оптимального сочетания посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающего максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении. Урожайность и цены реализации продукции. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость.

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Лабораторная работа № 1

«Запись условий задач линейного программирования»

Пусть требуется определить оптимальное сочетание посевов трех культур - пшеницы, ячменя и картофеля. Имеются следующие производственные ресурсы: посевная площадь - 700 га, труда - 33600 человеко-часов и денежных средств на сумму 1000000 денежных единиц. Причем в связи с потребностью в зерне посевная площадь под зерновыми культурами должна быть не менее 350 га.

Затраты труда, средств на 1га и выход продукции с 1 га культур

Затраты труда на 1 га, чел-ч

Затраты материально-денежных средств, ден.ед.

Выход валовой продукции с 1 га, ден. ед.

Найти оптимальное сочетание посевов сельскохозяйственных культур, обеспечивающее максимум производства валовой продукции в стоимостном выражении. Производственные ресурсы могут быть недоиспользованы, если это целесообразно с точки зрения критерия оптимальности.

Введем обозначения в задаче:

х1, га - искомая посевная площадь под пшеницей;

х2, га - искомая посевная площадь под ячменем;

х3, га - искомая посевная площадь под картофелем;

Z - целевая функция - максимум валовой продукции в стоимостном выражении, денежные единицы.

Составляем по условию задачи систему ограничений.

Первое ограничение соответствует условию по использованию и наличию пашни.

1. Баланс площади посевов, га

х1 + х2 + х3 ? 700.

Проверим единицы измерения левой и правой частей ограничения - это гектары, они совпадают. Поэтому ограничение записано верно.

Второе ограничение соответствует условию по использованию трудовых ресурсов.

40 чел-ч затрачивают на 1 га пшеницы, поэтому на всю посевную площадь пшеницы затрачивают 40•х1 (чел-ч), аналогично, на 1 га ячменя затрачивают 24 чел-ч, а на всю площадь под ячменем затрачивают 24•х2 (чел-ч), на 1 га картофеля используют 240 чел-ч, на весь картофель 240•x3 (чел-ч). Всего в наличии 33600 чел-ч, поэтому можем записать ограничение.

3. Баланс трудовых ресурсов, чел-ч

Проверим единицы измерения обеих частей ограничения: они совпадают.

Третье ограничение соответствует условию по использованию и наличию материально-денежных средств.

Рассуждения по записи третьего ограничения совпадают с рассуждениями по записи второго ограничения.

3. Баланс материально-денежных средств, денежные единицы

Четвертое ограничение по использованию площади пашни по посевам зерновых культур.

4. Площадь под зерновыми культурами не менее 350 га

5. Условия неотрицательности переменных:

Целевая функция задачи записывается в виде следующего математического выражения:

Рассуждения по записи целевой функции аналогичны рассуждениям по записи второго ограничения, так как в целевой функции коэффициенты при переменных определяют выход валовой продукции с 1 га культуры в стоимостном выражении.

Получили следующую запись условий задачи в исходной форме:

Перейдем к канонической форме записи задачи.

В исходной форме все переменные неотрицательные, ограничений равенств нет, поэтому вводим неотрицательные дополнительные переменные и заменяем ограничения неравенства на ограничения равенства.

Первое ограничение - неравенство типа меньше либо равно, поэтому вводим с коэффициентом плюс единица дополнительную переменную х4, так как основных переменных в задаче три (n = 3), получаем

х1 + х2 + х3+ х4 = 700 , где х4, га означает недоиспользование посевной площади.

Второе ограничение - неравенство типа " ? ", поэтому введем с коэффициентом "+1" новую дополнительную переменную х5, получаем

40•х1 + 24•х2+ 240•х3+ х5 = 33600,

где х5 , чел-ч означает недоиспользование трудовых ресурсов.

Третье ограничение - неравенство типа " ? " поэтому вводим новую дополнительную переменную х6 с коэффициентом плюс единица.

Получаем 150•х1+ 150•х2 + 500•х3+ х6 = 1000000,

где х6, денежные единицы, означает недоиспользование материально-денежных средств.

Четвертое ограничение - типа больше или равно, поэтому вводим новую дополнительную переменную х7 с коэффициентом "-1", получаем

х1 + х2 - х7 = 350,

где х7, га означает использование посевной площади под зерновыми культурами сверх минимальной границы 350 га.

Пятое: условия неотрицательности всех семи переменных.

Так как дополнительные переменные показывают лишь степень выполнения того или иного условия задачи, не являются основными переменными задачи, то они не влияют на значение целевой функции, поэтому в целевую функцию они вводятся с нулевыми коэффициентами.

Получаем, max Z = 325•x1 + 350•x2 + 1000•x3+ 0•х4+ 0•х5 + 0•х6 + 0•х7

Канонической формой задачи является следующая запись:

Список индивидуальных данных

Задание 1. По представленным ниже условиям задач:

1) записать исходную форму записи задач линейного программирования, выписывая список переменных, номера и названия ограничений, делая проверку единиц измерения;

2) перейти к канонической форме, записав экономический смысл дополнительных переменных.

1. Завод производит два типа двигателей, каждый на отдельной сборочной линии. Производительность этих линий составляет 600 и 750 двигателей в день. Двигатель первого типа использует 10 единиц некоего комплектующего, а двигатель второго типа - 8 единиц этого же компонента. Поставщик может обеспечить в день 8000 единиц этих деталей. Доходность изготовления двигателя первого типа составляет 60, второго - 40 ден. ед.

Определите оптимальную структуру ежедневного производства двигателей, обеспечивающую максимальную доходность .

2. Банк в течение нескольких месяцев планирует вложить до 200000 ден. ед. в кредитование частных лиц (клиентов) и покупок автомобилей. Банковские комиссионные составляют 14% при кредитовании частных лиц и 12% при кредитовании покупок автомобилей. Оба типа кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что около 3% клиентских и 2% автомобильных кредитов никогда не возвращаются. В этом банке объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в два раза превышают объемы других кредитов для частных лиц.

Найдите оптимальное размещение средств по двум описанным видам кредитования с целью получения максимума комиссионных и определите коэффициент возврата по всем кредитам.

3. Консервный завод перерабатывает за смену 60000 кг спелых помидоров (7 руб. за кг) в томатный сок и пасту. Готовая продукция пакетируется в упаковки по 24 банки. Производство одной банки сока требует одного кг спелых помидоров, а одной банки пасты - 1/3 кг. Заводской склад может принять за смену только 2000 упаковок сока и 6000 упаковок пасты. Оптовая цена одной упаковки томатного сока составляет 540 руб., одной упаковки томатной пасты - 270 руб.

Определите оптимальную структуру производства консервного завода, обеспечивающую максимальную доходность.

4. Факультет послевузовского обучения местного колледжа города Озёрский предлагает в общей сложности до 35 курсов каждый семестр. Все курсы условно можно разбить на два типа: практические, такие как, обучение работе на компьютере, ремонт автомобиля и др., и гуманитарные, например, исторические знания, творческие мастерские и др. Чтобы удовлетворить запросы обучающихся, в каждом семестре должно предлагаться не менее 12 курсов практического типа и 15 - гуманитарного. Факультет оценивает доход от одного практического курса в 150000, а гуманитарного - 140000 ден. ед.

Какова оптимальная структура курсов для факультета, обеспечивающего максимум дохода?

5. Возделываются следующие культуры: горох, овес и кормовая свекла. Площадь посевов - 500 га, трудовые ресурсы - 33600 чел.-ч, материально-денежные средства (МДС) - 100000 денежных единиц. Посевная площадь кормовой свеклы не более 50 га.