Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы "Матрицы. Виды матриц. Основные термины".

Сложение и вычитание матриц.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Запись "$i=\overline$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Заданы три матрицы:

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$ C=A+B=\left(\begin -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end \right)+ \left(\begin 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end \right)=\\= \left(\begin -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end \right)= \left(\begin 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end \right) $$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end \right)- \left(\begin 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end \right)=\\= \left(\begin -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end \right)= \left(\begin -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end \right) $$

Ответ: $C=\left(\begin 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end \right)$, $D=\left(\begin -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end \right)$.

Умножение матрицы на число.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Задана матрица: $ A=\left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right) =\left(\begin 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end \right)= \left(\begin -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right) =\left(\begin -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end \right)= \left(\begin 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end \right). $$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end \right)= \left(\begin 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end \right) $$

Ответ: $3\cdot A=\left(\begin -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end \right)$; $-5\cdot A=\left(\begin 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end \right)$; $-A=\left(\begin 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end \right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_$ на матрицу $B_$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_$ и $B_$ будет матрица $C_$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Заданы матрицы: $ A=\left(\begin -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end \right)$ и $ B=\left(\begin -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin c_ & c_ \\ c_ & c_ \\ c_ & c_ \end \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины", в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_$. Чтобы получить элемент $c_$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$ c_=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Продолжим решение и найдем $c_$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$ c_=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Следующий элемент $c_$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Чтобы найти $c_$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$ c_=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

И, наконец, для нахождения элемента $c_$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end \right)$. Или, если уж писать полностью:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end \right)\cdot \left(\begin -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end \right)=\left(\begin 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end \right). $$

Ответ: $C=\left(\begin 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$ \left(\begin 6 & 3 \\ -17 & -2 \end\right)\cdot \left(\begin 4 & 9 \\ -6 & 90 \end \right) =\left(\begin 6\cdot+3\cdot(-6) & 6\cdot+3\cdot \\ -17\cdot+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot+(-2)\cdot \end \right) =\left(\begin 6 & 324 \\ -56 & -333 \end \right) $$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Транспонированная матрица.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

  1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
  2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
  3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
  4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
  5. $A(BC)=(AB)C$
  6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
  7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
  8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
  9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
  10. $\left(A^T \right)^T=A$
  11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
  12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
  13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎