Решение олимпиадных задач на логику в 5-6 классах

Школьный предмет математика является одним из важных элементов развития умственной деятельности школьников. Благодаря этой дисциплине расширяется кругозор учащихся, формируется мировоззрение и становление личности. Школьный курс математики помогает вывить одаренных детей, раскрывает в учащихся способности в различных областях человеческой деятельности.

Олимпиада является одной из форм работы с одаренными детьми при изучении математики. Олимпиада рассматривается как форма внеклассной работы по предмету. На мой взгляд, подготовка школьников к олимпиадам должна начинаться в V-VI классах.

Обычно настоящий интерес к математике начинает формироваться в 14-15 лет. Как правило, это не происходит само собой. Ученики 5, 6 класса начинают проявлять к занятиям подлинный интерес, когда размышления над трудными, нестандартными задачами доставляют им радость и настоящее удовольствие. Решение олимпиадных задач позволяет учащимся накопить опыт в сопоставлении, наблюдении, выявлять различные математические закономерности, высказывать догадки, нуждающиеся в доказательствах. Таким образом, создаются условия для выработки у ребят стойкой потребности в рассуждениях.

Как можно выявить, есть у младших школьников творческие способности к математике? Необходимо дать ему нестандартную задачу. Все помнят со школьной скамьи задачи про волка, козу и капусту. Оказывается, умение придумать не зависит от оценки по обычным школьным заданиям. Традиционная оценка оценивает заранее выученные приемы в стандартных ситуациях, что очень важно, но этот способ не должен быть единственным при обучении математике. Главное, что отличает математику от других предметов – строгий стандарт доказательств.

Не обязательно обсуждать с учениками в начале занятия все ключевые задачи. Можно сначала предложить какие-то задачи порешать самостоятельно (возможно, дома). Рекомендую решать задачи ребятам исходя из их подготовки. Решение многих задач школьнику 5-6 классов бывает трудно записать и гораздо легче рассказать. Чтобы каждый успел высказаться, можно проверить устные решения у первых 2-3 учеников, назначить их экспертами по данному виду задач, а затем остальных отправлять рассказывать свое решение экспертам. Более сильные ученики с удовольствием выступают в роли экспертов и подчас очень дотошно слушают решения.

Цель занятий в кружке:

- организация работы с учащимися, имеющими повышенный уровень мотивации, включение учащихся в исследовательскую деятельность; воспитание ученика как личности компетентной, востребованной обществом.

Задачи занятий в кружке:

- формирование у учащихся устойчивого интереса к математике;

- выявление и развитие математических способностей;

- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности;

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса;

- подготовка к сознательному усвоению систематического курса алгебры и геометрии.

Правильным путём обучения будет разумное сочетание самостоятельной работы учеников с обучением их общим методам и подходам. Таким как: принцип Дирихле, метод инвариантов и др. Все эти методы применимы к различным типам задач из геометрии, алгебры и арифметики. Овладевшим этими методами ученикам гораздо проще найти верный путь к решению той или иной задачи.

В итоговой работе приведу пример занятия, на котором с учениками решаем логические задачи, которые собраны из разных источников и ученики 5-6 классов могут их решить.

Логические задачи служат хорошей подготовкой к изучению геометрии, кроме того 5, 6-классники ценят занимательность сюжета и обсуждают задачи с родителями. При решении логических задач не нужно ограничивать учеников в выборе метода, но, если ученик решает по-своему, надо дать ему возможность решить до конца, а потом познакомить с другим подходом.

Задачи на переливание:

Непросто определить, в каком старинном трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. Пожалуй, самая известная из них опубликована более семи веков назад. Познакомимся с ней:

«В одном средневековом сочинении, предлагается такого рода задача:

Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» – спрашивает второй слуга. «8 мер», – отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», – заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

Одной из самых известных задач подобного рода является задача Симеона Дени Пуассона (1981-1840), знаменитого французского математика и физика. Именно с решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии – математик.

Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

1. «Водолей» – задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

2. «Переливашка» – задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.

Первый тип задач мне кажется полегче, второй – сложнее.

Простейший способ решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такое решение не совсем удачно, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании определённой последовательности действий.

В задачах на переливание разрешены следующие операции:

- заполнение жидкостью одного сосуда до краев;

- переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

- разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;

- разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;

- разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

I. начать переливания с большего сосуда;

II. начать переливания с меньшего сосуда.

Какой из способов более рационален (т. е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм. Дети записывают этот алгоритм в тетрадь для индивидуальной работы.

1. Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.

2. Перелить из большей емкости в меньшую емкость.

3. Вылить жидкость из меньшей емкости.

Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм.

1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.

2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.

3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.

4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.

5. Если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

Задача № 1

Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?