Если гравитация – это искривления пространства, то откуда берется ускорение свободного падения?

Вспомните что вы чувствуете когда едете в лифте - если вы опускались с определённой фиксированной скоростью, а затем лифт резко затормозил - вы почувствуете что вас вдавило в пол. Вы чувствуете при этом силу - силу инерции. А теперь подумайте - можете ли вы как-то отличить эту силу от силы гравитации? находясь внутри лифта вы не знаете наверняка - это лифт поменял свою скорость или под вами включился искусственный источник гравитации?

Или допустим вы кружитесь на карусели - вы должны чувствовать что вас прижимает к спинке кресла при этом. Но если закрыть глаза вы не сможете понять - это вы находитесь в неинерциальной системе отсчета или гравитационное поле вокруг сошло с ума?

Именно на этом явлении и основана общая теория относительности. Инерция и гравитация локально эквивалентны. Локально - значит они не эквивалентны полностью, а одинаковы только в выбранной очень маленькой области пространства. Отличия заключаются например в том что в случае с инерцией вы всегда можете выбрать такую движущуюся неинерциальную систему отсчёта что в ней эффекты тяготения не будут заметны во всём пространстве. Например в системе отсчёта ускоряющегося автомобиля все объекты вокруг него имеют некоторое ускорение. Но можно выбрать систему отсчёта связанную с землёй в которой все эти объекты ускорения иметь не будут. Внутри автомобиля мы можем воспринимать движение объектов вне его связанным с действием на них некого силового псевдо-поля. И мы можем устранить это поле во всём пространстве просто перейдя в систему отсчёта земли.

В случае же с реальным гравитационным полем меняя систему отсчёта вы можете добиться в общем случае лишь устранения гравитационного поля в конкретной точке пространства. Поэтому и говорят что гравитация и инерция лишь локально эквивалентны - то етсь ведут себя одинаково в локальных окрестностях точек пространства.

В специальной теории относительности вперввые появляется понятие о метрике пространства-времени в физике. Метрика - это способ измерения расстояния между точками. Например в неискривлённом плоском (евклидовом) пространстве расстояние между двумя точками ищут по теореме пифагора. Расстояние между точками на шаре вы будете искать по длине дуги (геодезической) а это уже не теорема пифагора. В любом искривлённом пространстве расстояние между точками будет отличаться от того же расстояния в плоском пространстве.И так получается что неинерциальные системы отсчёта можно описать не только изменением компонент базиса пространства (то есть не только изменением системы координат), но и изменением метрики пространства - эти процедуры оказываются локально-эквивалентными. А метрика (метрический тензор полностью характеризует геометрию пространства-времени и является тензором - это такой математический объект. Можете почитать на вики) в данном случае начинает представлять собой величину которая и описывает наше гравитационное поле. Именно эта процедура и связывает геометрию пространства-времени с силой тяготения - всё из-за неразличимости силы тяготения и инерции в окрестностях точек.

Например электромагнитное поле характеризуется потенциалом и напряженностью электромагнитного поля. В случае же с гравитационным полем - его характеризует метрический тензор. Электромагнитная волна - это колебания векторов напряжённостей электрического и магнитного поля. Гравитационная волна - это колебание метрического тензора

Ускорение свободного падения в этом случае берётся оттуда же откуда берётся ускорение окружающих вас объектов - деревьев вокруг, людей и т п когда вы едете в ускоряющемся автомобиле. В системе отсчёта связанной с ускоряющимся автомобилем (это неинерциальная система отсчёта) все окружающие автомобиль предметы имеют некоторое ускорение.

Но по хорошему объяснение в том что уравнение эйнштейна (Оно возникает из той самой эквивалентности о которой я говорил выше) связывает так называемый тензор энергии-импульса с метрикой пространства времени. Тензор энергии-импульса содержит в себе компоненты энергии материального объекта и импульса с которой он движется. Метрический тензор описывает как искревлено пространство в котором находится объект. Энергия объекта связана с его массой. Поэтому любой объект обладающий энергией (массой) в искривлённом пространстве начнёт двигаться - его импульс будет меняться - эта динамика рождается из уравнения эйнштейна. Т.к. геометрия пространства связана с энергией и импульсом объекта. Если у нас меняется импульс, то производная от импульса по времени характеризует с какой скоростью этот импульс меняется) Производная от импульса пропорциональна производной от скорости. А производная от скорости - это и есть ускорение.

При этом двигаться кстати будет не только объект. Обладая энергией и импульсом (массой) объект сообщает пространству и как ему нужно искривляться. Эти вещи согласно уравнению эйнштейна происходят одновременно.

Теория относительности вообще строится на основе псевдоевклидовой плоской метрики минковского. То есть в отсутствии гравитационных полей метрика пространства-времени не евклидова, а псведоевклидова. И Это пространство-время минковского 4хмерное - в нём есть ось времени. Поэтому если в 3х мерной евклидовой метрике покоящаяся частица описывается точкой, то в псевдоевклидовой 4хмерной будет описываться прямой - мировой линией. Поскольку по пространственным координатам частица покоится, но по времени как бы движется вперёд в будущее. Появление гравитационного поля, как я описал выше эквивалентно искривлению плоской метрики минковского. При искривлении метрики прямые покоящихся частиц так же искривляются вместе с геометрией. И теперь уже вследствии их искривления частица будет двигаться по пространственным координатам. Т.к. частица уже описывается не прямой перпендикулярной прсотранству, а некой кривой - то есть в некоторые момент времени пространственные координаты частицы будут меняться. Это и приводит к динамике (движению) в гравитационных полях.

Мы видим что траектория частица в гравитационных полях искривляется поскольку существует принцип наименьшего действия который требует чтобы интервал мировой линии в 4х-мерном пространстве которое пролетает частица было наименьшим.

Представьте себе прямой листок на котором нарисована красная линия - прямая на плоском листке - это наиболее короткое расстояние между точками. Если же вы теперь искривите листок, то можете увидеть что теперь наиболее короткое расстояние не проходит по начерченной ранее красной линии линии. А проходит по некоторой новой - синей. Это принципы вариационного исчисления. Наблюдатель живущий на листочке при этом воспринимает мир плоским и вы можете посмотреть на то какой он видит синюю траекторию если развернёте листок обратно и сделаете его плоским - вы увидите что синяя линия не проходит по красной. При этом синяя линия искривлена. И если листочек на самом деле искривлён, то наблюдатель не будет видеть искривления, но будет видеть что траектория поменялась вследствие принципа наименьшего действия с красной на синюю. Поскольку принцип наименьшего действия требует чтобы интервалы частиц в 4х-мерии были наименьшими.

Аналогично - можете открыть сервис яндекса показывающий траектории рейсов самолётов - вы увидите что самолёты движутся там по кривым траекториям. Это происходит потому что карта рейсов плоская. Но если посмотреть на землю как на шар - будет видно что эти траектории действительно наикратчайшие.

То есть наиболее короткая траектория для искривлённой земли видится кривой если смотреть на землю как на плоскость. Так же и в ОТО - наиболее короткая мировая линия в искривлённом 4х мерном пространстве минковского видится кривой жителю внутри этого пространства воспринимающего мир плоским и неискривлённым

А то что при низких энергиях мы получаем закон всемирного тяготения ньютона - это уже следствие правильного построения общей теории относительности. Или правильного описания принципа эквивалентности инерции и гравитации

При этом мировые линии искривляются таким образом чтобы объекты вблизи статичных источников гравитационного поля двигались с приблизительно постоянным ускорением. С постоянным ускорением - потому что гравитационные поля неотличимы от неинерциальных систем. Статические гравитационные поля неотличимы от неинерциальных систем движущихся с постоянным ускорением. Но при этом на разной высоте от земли ускорение свободного падения разное потому что эквивалентность только локальная - лишь вблизи окрестностей точек. Мы с вами не замечаем эту локальность потому что гравитационные поля очень слабые соответственно отличия становятся заметными на достаточно больших расстояниях.Это умозрительные соображения которые позволяют избежать расчётов - из того что мы положили в теорию можно предсказать как она себя будет вести в итоге.Эти же факты можно получить путём математических вычислений.

Ну и в заключение скажу что тот способ описания гравитации который я привёл - это лишь умозрительная попытка хоть как-то её описать. По хорошему гравитация наверное должна быть следствием наличия некоторых симметрий нашей вселенной. Но пока калибровочную теорию гравитации построить не удаётся.Как бы. мы пока описываем гравитацию не исходя из глубоких фундаментальных причин, а лишь видим некоторые её эффекты и пытаемся на основе их построить цельную теорию. Получилось неплохо, но не слишком - проквантовать её пока не поулчается. Видимо это означает что чего-то мы пока не понимаем в ней