Входной тест: Определение квадратного уравнения. Количество его корней

6. При каких значениях с уравнение с х 2 + 2х + 3 = 0 имеет 2 корня?

Занятие №2 1. Анализ теста: (из данного анализа следуют цели курса)

2. Простейшие применения квадратных уравнений.

Всегда ли имеет корни квадратное уравнение?

Можно ли указать корни квадратного уравнения 2х 2 + 3х – 5 = 0, не решая его?

Все ли справились с заданием №5 теста? Как можно проще решить его?

Все ли справились с заданием №6 теста? Какая причина неверного решения?

Выявление совместно с учащимися целей элективного курса.

1. Решить уравнение: а) 6(10 – х)(3х + 4) = 0

б) х 2 + 4х – 12 = 0

г) 2х 4 + 3х 3 – 8х 2 – 12х = 0

2. Найти область определения функции: у = х 2 - 3

3. Решить задачу: Катер может проплыть 8км против течения реки и еще 30км по течению

за то же время, за которое плот может проплыть по этой реке 4км. Скорость катера в

стоячей воде равна 18км/ч. Найти скорость течения реки.

Занятия №3, 4 Первые тайны квадратных уравнений .

Свойства коэффициентов квадратного уравнения при определении его корней:

а) если а + в + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а

б) если а + с = в, то х 1 = -1, х 2 = -с/а

2. Свойства корней и коэффициентов квадратного уравнения при решении графических задач.

3. Свойства корней и коэффициентов квадратного уравнения при разложении квадратного

трехчлена на множители.

4. Решение задач:

1. Решить уравнение: а) х 2 + 3х – 4 = 0 б) 7х 2 - 2х + 5 = 0 в) 3х 2 + 8х + 5 = 0

2. Сократить дробь: а) х 2 – 5,5х б) х 2 + 7х +6

2х 2 + 9х - 11 7х 2 +15х + 8

в) х 4 – 11х 2 + 10

3. Решить уравнение: а) х + х + 2 = 8

х + 2 х – 2 х 2 - 4

б) 2х _ 15 – 32х 2 = 3х

2х - 3 4х 2 – 9 2х + 3

в) х + 2 + 3 = 3 + 1

х + 1 х – 2 х 2 – х - 2

4. Решить систему уравнений: ху = -8

5. Найти область определения функции: у = х

6. Построить график функции и указать ее область значений:

а) у = 7х 2 – 9х + 2 б) у = -1/2х 2 + 3х – 1/2

7. Построить график функции, указав сначала ее область определения:

Найти наибольшее или наименьшее значение функции и указать промежутки ее

возрастания и убывания:

8. Решить уравнение: х 3 – 3х + 2 = 0

Занятия №5,6 Тайны квадратного уравнения при решении неравенств

Метод решения неравенств второй степени и его алгоритм.

Тайна старшего коэффициента при решении неравенств методом интервалов.

3. Решение задач:

1. Решить неравенство: а) 2х 2 – 7х + 5 > 0 б) (3х + 7)(1 – х) х 2 ≤ 6х - 2 г) 3х 2 – 11х + 8 х 2 – 4х + 3 ≥ 0

2. Найти область определения функции: а) у = √ х + 1/3х 2

в) у = √ 6 – 5х – х 2

г) у = √ 3 – 5х – 2х 2

3. Найти решения неравенства 0,8х 2 ≤ х + 0,3 из промежутка [1⅓; 2]

4. При каких положительных значениях х верно неравенство х 2 – 2х ≤ 2 ?

5. Решить систему неравенств: а) 6х 2 – 5х + 1 > 0

6. Решить задачу: Один из катетов прямоугольного треугольника на 5см больше

другого, а его площадь больше 75см 2 . Какую длину может иметь больший катет?

7. Одна из сторон прямоугольника на 4см больше другой, а его площадь меньше 165см 2 .

Какую длину может иметь большая сторона прямоугольника?

8. Без построения графика найти значения аргумента при которых значения функции

у = 3х 2 - 7х + 4 положительны.

9. При каких значениях аргумента значения функции у = 9х – 2х 2 не меньше 7?

Занятия №7,8 Тайны решения уравнений высших степеней .

1. Известный нам способ разложения на множители.

2. Способ замены переменной.

3. Решение задач:

1. Решить уравнения: а) 2х 4 + 3х 3 – 8х 2 – 12х = 0 б) х 3 – 3х + 2 = 0

в) 2х 4 - 5х 2 – 12 = 0 г) (х 2 – 2)(х 2 + 2) – 3х 2 – 6 = 0

2. Найти координаты точек пересечения графика функции у = х 4 – 10х 2 + 9 с осью абсцисс.

3. Решить систему уравнений: х 2 + у 2 = 20

4. Решить неравенство: а) х 4 – 9х 2 + 10 ≤ 0 б) х 4 – 3х 2 – 4 > 0

в) 4х 4 – 13х 2 + 9 ≥ 0

5. Решить уравнение: а) (х 2 – 3х) 2 – 2(х 2 – 3х) = 8

б) (х 2 + 4х)(х 2 + 4х - 17) + 60 = 0

в) (2 - х 2 + 2х )(4 - х 2 + 2х ) = 3

6. Сократить дробь: а) х - √х – 2 б) х - 6√х + 8

7. Найти область определения функции: а) у = √ х 4 – 5х 2 + 4

б) у = √ х 4 – 10х 2 + 9

8. Предложить способ решения уравнения и начать его решение

( как пропедевтика курса алгебры 10-11) : а) cos 2 x + 7cosx + 6 = 0

б) 3lg 2 x – 8lgx + 5 = 0

в) 7 2х – 7 х + 1 = 0

Занятие №9 Тайна существования корней квадратного уравнения.

1. Всегда ли имеет корни квадратное уравнение?

2. Немного о новом множестве чисел (как пропедевтика курса высшей математик).

3. Решение задач:

1. Являются ли корнями уравнения х 2 + 8х + 25 = 0 числа -4 + 3i и -4 – 3i ? Как это

узнать? Cделать это двумя способами (по определению корней и по теореме Виета).

2. Найти корни уравнения х 2 + 2х + 5 = 0. К какому множеству чисел они относятся?

3. Решить уравнение: х 2 – 6х + 25 = 0

Занятия №10,11 Тайны квадратных уравнений, содержащих модуль .

Правила раскрытия модуля: а) если | f(x)| = a, то f(x) = a или f(x) = -a

б) если | f(x)| = g(x), то f(x) = g(x) или f(x) = - g(x) при g(x) > 0.

г) если |f(x)| > g(x), то f(x) > g(x) или f(x) |g(x)|, то f 2 (x) > g 2 (x).

3. Решение задач:

1. Решить уравнение: а) |х 2 – 2х – 7| = 4; х 2 – |х| – 2 = 0 ;

|2х + 1|х - 3х – 4 = 0; х 2 + 5х – 6 = 2.

б) |х 2 – х – 8| = - х; |3х – 4| = 4х 2 + 3х – 2;

х 2 + 4|х – 3| - 7х + 11 = 0;

|х 2 – 4х + 3| + |х 2 – 4х – 5| = 8

|х 2 – 9| + |х – 2| = 5

2. Решить неравенство: в) |3х + 2| ≤ х 2 + 7х + 6; х 2 - 5х + 9 > | х – 6|

г) |х 2 – 4| > -2х – 1; х 2 – х – 2 2 + х – 1| > |х + 1|;

|24х 2 – 39х - 8| ≤ |18х 2 – 25х + 32|.

3. Решить неравенство, не подчиняющееся данным правилам:

х 2 – 4|х| 2 + |5х – 4| - 1 ≤ | 3х – 2|

Занятия №12 – 14 Задачи с параметром.

Определение квадратного уравнения.

Количество действтительных корней уравнения.

Немного о параметре.

1.а) При каких значениях с уравнение х 2 + 2х + с = 0 не имеет корней?

б) При каких значениях к уравнение 16х 2 + к х + 1 = 0 имеет корни?

в) При каких значениях а уравнение а х 2 + х + 2 = 0 имеет два корня?

г) При каких значениях к уравнение к х 2 - 5 х + 1/4 к = 0 имеет два корня ?

2.а) При каких значениях а уравнение ( а – 2) х 2 + (4 – 2 а ) х + 3 = 0 имеет

б) При каких значениях а уравнение а х 2 - 4х + а + 3 =0 имеет более одного корня?

в) При каких значениях а уравнение а(а + 3)х 2 + (2 а + 6)х – 3 а - 9 =0 имеет

более одного корня?

г) При каких значениях а уравнение х 2 – а х + 1 = 0 имеет единственное

3. Решить уравнение: а) х 2 – 4х + 3 = 0 б) х – а = 0

х – а х 2 – 4х + 3

в) а х 2 + 3 а х – ( а + 2) = 0 .

4. При каких значениях а уравнение ( а 2 – 6 а + 8)х 2 + ( а 2 – 4)х + (10 – 3а – а 2 ) = 0

имеет более двух корней?

5. При каких значениях а один из корней квадратного уравнения

( а 2 – 5 а + 3)х 2 + (3 а – 1)х + 2 = 0 в 2 раза больше другого?

6. При каких значениях а оба корня уравнения ( а – 1)х 2 – а х + 1 = 0 положительны?

7. При каких значениях а уравнения х 2 + а х + 8 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют

8. При каких значениях к оба корня уравнения х 2 – ( к + 1)х + к + 4 = 0

9. Найти все значения с, при которых корни уравнения х 2 + х + с = 0

действительны, различны, и оба больше с.

10. При каких значениях к оба корня уравнения - к х 2 + (2 к + 1)х – к + 1 = 0

удовлетворяют условию -2 а которых графики функций у = ( а + 5)х 2 – 7

и у = (3 а + 15)х - 4 не имеют общих точек.

12. При каких значениях к неравенство к х 2 + (1 + к )х + 5 > 0 выполняется при

всех х из множества действительных чисел?

13. Найти все значения параметра а , при которых всякое решение неравенства

1 ≤ х ≤ 2 является решением неравенства х 2 – а х + 1 ≤ 0.

Занятие №15 Итоговый тест.

1. При каких значениях аргумента значение функции у = 3х 2 – 11х + 8 неотрицательны?

2. Найти нули функции: у = 7(х 2 – 3х + 3) + 2(х 2 – 3х +3) – 9

3. Решить уравнение: |х 2 – 2х| = 3 – 2х

4. При каком целом значении b уравнения 2х 2 + (3 b – 1)х – 3 = 0 и 6х 2 – (2 b – 3)х – 1 = 0