Об одной вероятностной модели конденсации водяного пара в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Макуашев Мусарби Киляниевич
ABOUT ONE STOCHASTIC MODEL OF CONDENSATION OF WATER VAPOR IN ATMOSPHERE
In the present work the theory of condensation from the point of view of the theory of stochastic processes is developed.
Текст научной работы на тему «Об одной вероятностной модели конденсации водяного пара в атмосфере»
удк 551.574.1; М. К. Макуашев [М. K. Makuashev]
об одной вероятностной модели
конденсации водяного пара в атмосфере
About one stochastic model of condensation of water vapor in atmosphere
В данной статье развита теория конденсации с точки зрения теории случайных процессов.
Ключевые слова: конденсация, случайный процесс, марковский процесс, уравнение Колмогорова.
In the present work the theory of condensation from the point of view of the theory of stochastic processes is developed. Key words: Condensation, stochastic process, Markov's process, Kolmogorov's equation.
Существует множество теорий конденсации пара. Подробный обзор их можно найти в [1, 2]. Все эти теории имеют общий недостаток: они переносят макроскопические представления на молекулярные процессы [1]. Мы рассмотрим ниже одну математическую модель физического процесса конденсации, позволяющую отразить молекулярный процесс превращения фаз, именно начальный этап конденсации пара.
Физика процесса конденсации пара достаточно ясна: при конденсации молекулы пара объединяются друг с другом и образуют одну частицу (кластер) соответствующей жидкости, или же присоединяются к уже имеющейся в объёме частице. В физике облаков особенно важны процессы конденсации водяного пара, ибо при этом образуются первичные водяные капельки, которые затем растут и преобразуются в облачные капли, капли осадков, ледяные кристаллики, градовые частицы. Характерной чертой конденсации водяного пара является дискретность и случайность.
Об одной вероятностной модели конденсации водяного пара в атмосфере..
Гораздо сложнее обстоит дело с математическим описанием процесса конденсации и испарения. Мы применим теорию дискретных марковских процессов с непрерывным параметром.
Отметим попутно, что к любой математической модели предъявляются, по крайней мере, следующие два требования [3]:
- правильное качественное описание процесса (объекта);
- правильное количественное описание процесса (объекта).
Указанный выше тип марковских процессов удовлетворяет первому требованию к математическим моделям, а именно - он отражает дискретный и случайный характер процесса конденсации пара.
Рассмотрим начальный этап конденсации водяного пара, когда из молекул водяного пара образуются комплексы молекул. Когда последние достигают критического размера, то они (при подходящих условиях) растут дальше путём конденсации пара уже на достаточно большой частице или путём коагуляции. Зародышевые капельки, не достигшие критического размера, испаряются; так продолжается непрерывный процесс образования и исчезновения капелек, их дальнейшего роста.
В объёме V созданы такие условия (по температуре и давлению), что молекулы начинают объединяться в кластеры. Процесс происходит так, что в течение малого промежутка времени могут образоваться кластеры и в то же время кластеры могут распадаться на молекулы. Таким образом, в объёме могут существовать кластеры разных типов (размеров, масс или числа молекул в кластере). Тип кластера мы будем определять по числу молекул в кластере: i = 1, 2, 3, . пк, . . Молекулы пара представляют собой фон, на котором протекают рассматриваемые процессы конденсации водяного пара и испарения кластеров. Испарение и рост кластеров происходит только путём присоединения или потери молекул воды.
В объёме V может существовать щ частиц первого типа, п2 частиц второго типа, п3 частиц третьего типа, . щ частиц /-го типа. В начальный момент в объёме V существует один тип частиц: N молекул - тип 1. Итак, процесс испарения и конденсации происходит следующим образом: начиная с какого-то момента времени, в объёме V образуются кластеры; кластеры растут, присоединяя к себе ^ молекул, или гибнут, теряя V молекул.
Мы будем следовать такой схеме: в начальный момент в выбранном объёме существуют только молекулы водяного пара. Молекулы пара
объединяются и образуют кластеры типа 2 или же такие кластеры могут распадаться на отдельные молекулы. Пусть в какой-то момент времени в объёме существуют п2 кластеров второго типа. Отдельные кластеры присоединяют к себе одну молекулу и появляются кластеры третьего типа; или же некоторые кластеры теряют одну молекулу и переходят в кластеры первого типа (в молекулы). Пусть в объёме среды образовалось п3 кластеров третьего типа. Такие кластеры присоединяют по одной молекуле водяного пара и переходят в кластеры четвёртого типа, или теряют по одной молекуле и переходят в кластеры второго типа. Далее процесс конденсации развивается аналогичным образом. Часть кластеров может достичь критического размера и перейти в облачные капли.
Этот физический процесс можно моделировать процессом рождения и гибели с несколькими типами частиц. Применим эту теорию к описанию физического процесса конденсации и испарения.
Мы будем предполагать, что любой кластер за малый промежуток времени присоединяет к себе только одну молекулу или теряет только одну молекулу. Для каждого типа частиц справедливы уравнения и постулаты процесса рождения и гибели. Молекулы пара будем рассматривать как фон неограниченного объёма.
Разберём процесс рождения и гибели с одним типом частиц. Состояние ЕПк случайного процесса в данном случае имеет такой смысл: в выбранном объёме среды находится п кластеров данного типа. Переходы случайного процесса осуществляются следующим образом: ЕПк-1 ^ Ещ -вследствие присоединения молекул образуется один новый кластер данного типа; Епк+! ^ Епк- вследствие того, что от кластера отделяется одна молекула из совокупности кластеров уходит один кластер. Переходная вероятность Рщ (¿) означает, что в течение промежутка времени (0, ¿) в заданном объёме среды существовало пк кластеров данного типа. Дифференциальные уравнения для переходных вероятностей процесса легко вывести из прямых уравнений Колмогорова и имеют следующий вид:
Об одной вероятностной модели конденсации водяного пара в атмосфере..
Эти уравнения надо решить при дополнительном условии
Ро (0) = 1, Рпк (0) = 0, (пк > 0). (3)
Это условие означают следующее: вероятность того, что в начальный момент времени в объёме V находятся п частиц данного типа, равна единице, а вероятность того, что в начальный момент времени в объёме V находятся меньше, чем п частиц, равна нулю. Рассмотрим два простых процесса: процесс чистой гибели и процесс чистого рождения.
Пусть в среде происходит только конденсация пара. Физическая картина конденсации пара достаточно ясна: молекулы пара вследствие теплового движения сталкиваются друг с другом и захватывают друг друга; или же молекулы сталкиваются с уже имеющимися в среде кластерами воды и присоединяются к ним.
Схематически процесс конденсации можно представить следующим образом. В результате столкновения друг с другом две молекулы пара объединяются в один кластер из двух молекул, далее кластер типа 2 присоединяет одну молекулу пара и образуется кластер типа 3 и т. д. Таким образом, можно представить себе такую схему процесса чистой конденсации:
п1 ^ п2 ^ п3 ^ . пк ^ . .
В реальной облачной среде кластеры разных типов сталкиваются друг с другом и объединяются в новые кластеры. Такие процессы мы будем рассматривать как коагуляцию частиц. Паровую фазу облачной среды мы рассматриваем как фон случайного процесса конденсации. Таким образом, процесс конденсации пара мы будем рассматривать как случайный процесс рождения кластеров из паровой фазы. Задача в том, чтобы описать эту физическую картину количественно; построить математическую модель этого явления. Рассмотрим процесс образования из водяного пара кластеров воды.
Пусть состояние случайного процесса конденсации пара изменяется так, что за малый промежуток времени к какому-нибудь кластеру воды добавляется одна молекула. Изменение состояния Епк случайного процесса образования кластеров типа 2 происходит следующим образом:
1) Ещ- в данный момент времени в выделенном объёме облачной среды имеется пк кластеров типа 2; за промежуток времени новых кластеров не образуется;
2) в промежутке времени (0, в объёме облачной среды имеется „к-1 кластеров типа 2 (состояние Епк-1), а в промежутке времени At появляется один кластер типа 2;
3) появление кластеров других типов маловероятно.
Основные уравнения процесса принимают вид
Будем считать, что Я„к = Я. Уравнения процесса и дополнительные условия имеют тогда вид
Система (4) имеет решение
Итак, если процесс конденсации пара происходит медленно, то его можно количественно описать пуассоновским процессом. Вероятностное распределение кластеров воды (5) есть распределение Пуассона.
Продолжим теперь изучение процесса рождения и гибели с одним типом частиц. Мы будем предполагать, что Япк = пЯ, ¡лПк = щ, X, ^ > 0, т. е. рассмотрим так называемую модель линейного роста. Введя производящую функцию да
уравнения (1), (2) и условие Р0 (0) = 1, Р0 (0) = 0, п > 0,
приводим к виду
Об одной вероятностной модели конденсации водяного пара в атмосфере..
Мы получили задачу Коши. Её решение известно [4]. Производящая функция имеет вид
Вероятность Р0 находим при значении я = 0:
Если X > |1, то при t ^ го получаем р0 = ^ / X. Это может означать, что если средняя скорость конденсации меньше, чем средняя скорость испарения кластеров в облаке, то в облаке может установиться некоторое состояние динамического равновесия.
Разложением в ряд по степеням получаем переходные вероятности Рп (0
Легко проверить условие
Если ^ (0) = /, то условие (3) принимает вид
производящая функция равна
Далее для переходных вероятностей получаем [5]
Выше мы предполагали, что каждый тип частиц трансформируется независимо от других.
До сих пор мы рассматривали параметры X и ¡л как эмпирические параметры. Необходимо теперь выразить эти параметры через параметры динамики столкновений. Для этого мы воспользуемся задачей двух тел. Такой подход впервые использовал Ланжевен, исследуя динамику столкновений ионов и молекул в газе [6]. Аналогичный подход был применён в [7] при анализе процесса коагуляции двух облачных частиц. Для коэффициента захвата была получена формула
Потенциальная энергия в случае притяжения считается отрицательной, а в случае отталкивания - положительной.
Параметрам X, ¡л, входящим в приведённые выше модели, можно дать физическую трактовку. Например, в биологии в аналогичных моделях эти параметры истолковываются следующим образом: параметр X есть скорость роста популяции, а параметр л есть скорость гибели популяции. Аналогичную трактовку этим параметрам можно дать и в описанных выше моделях. Параметр X можно трактовать как скорость роста совокупности частиц данного типа; параметр л можно трактовать как скорость гибели совокупности частиц данного типа. Скорость роста совокупности частиц определяется потоком частиц данного типа на отдельную частицу; следовательно, параметр X будет определяться концентрацией частиц данного типа, их средней скоростью и сечением захвата для отдельной час-
Об одной вероятностной модели конденсации водяного пара в атмосфере..
тицы: X = п0уХ.= -^2п0у-К. Аналогичным образом определяется скорость гибели совокупности частиц данного типа: л = п0у+£, где - скорость распада одной частицы; 5 - поверхность частицы до распада. Скорость распада частицы определяется следующей формулой [8]:
где и- - энергия распада;
т'- приведённая масса частиц, образовавшихся после распада.
Энергию распада частицы можно принять равной потен-
циальной энергии взаимодействия атомов внутри молекулы. На основании сказанного параметры X и ¡л можно записать в виде
Пусть сталкивающиеся молекулы имеют постоянные ди-польные моменты, тогда для параметра X получаем
Таким образом, пуассоновский процесс и процесс рож-
дения и гибели могут служить основой для математического моделирования физического явления конденсации водяного пара в атмосфере.
ЛИТЕРАТУРА 1. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия, 1966.
2. Амелин А. Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. М.: Химия, 1972.
3. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М: Наука, 1983.
4. Баруча-Рид А. Т. элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.
5. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.
6. Ланжевен П. Избранные труды по физике. М.: Изд-во АН СССР, 1960.
7. Макуашев М. К. Влияние поверхностных свойств системы твердое тело - жидкость (пар) на образование облачных элементов: дисс. . канд. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1983.
8. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Наука, 1970.