Задачи на смеси и сплавы: Задача. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%

Задача . Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение. 10×0,15 = 1,5 (кг) соли.Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Задача. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;Ответ: 40%, 60%.

Задача . Морская вода содержит 8% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%.

Решение: Соль является чистым веществом, а морская вода – раствором.

При добавлении в морскую воду пресной воды содержание чистого вещества не изменяется. Пусть пресной воды – х кг.

Составляем уравнение: 0,05×(30+х)= 0,08×30.

Получаем х=18. 18 кг пресной воды нужно добавить. Ответ: 18 кг.

Задача. Сплав олова с медью массой в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?

Решение: Олово является чистым веществом в сплаве. Пусть к сплаву добавили х кг олова. Чистое вещество при этом остаётся неизменным.

Составляем уравнение: 0,4×(12+х)= 12×0,45.

Получаем х=1,5. 1,5 кг олова надо добавить. Ответ: 1,5 кг.

При решении следующих задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300×0,87 = 261 (г).

Задача. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35×5+0,2×4=р×(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Задача. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Задача. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);х = 10.

Ответ : добавили 10 л 5%-ного раствора

Задача. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Пусть х кг олова надо добавить к сплаву. Так как процентное содержание меди в сплаве равно 45%, то масса меди в первоначальном сплаве m=0,45×12=5,4 кг (где 0,45 – концентрация меди в сплаве).

Тогда 12+х – масса нового сплава

И так как масса меди в первоначальном сплаве равна 5,4 кг, то 0,4

– концентрация меди в новом сплаве.

По условию, решая уравнение, получаем х=1,5 кг.

Ответ: нужно добавить 1,5 кг чистого олова.

Задача. Смешали 500 г 10% раствора соли и 400 г 55% раствора соли. Определить концентрацию соли в смеси.

1) найдем абсолютное содержание соли в I растворе

2) Найдем абсолютное содержание соли во II растворе.

3) Найдем массу получившейся смеси

4) Найдем абсолютное содержание соли в смеси

5)найдем концентрацию соли в смеси

270г (абсолютное содержание соли)

900 г (общая масса) = 0,3 = 30 %

Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов равна 30%

Задача. Кусок сплава меди и олова массой 36 кг содержит 45%.

Сколько меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди?

1) Найдем абсолютное содержание меди в сплаве

2) что нужно знать, чтобы концентрация меди в новом куске была 60%?

абсолютное содержание меди в новом куске после добавки и получившуюся общую массу куска.

Тогда обозначим за x – массу добавленной меди

3) найдем абсолютное содержание меди в новом куске: 16,2+x

4) найдем массу получившегося куска: 36+x

5) зная процентное содержание меди в новом куске, составим уравнение.

Решая уравнение 5(16,2+x)=3(36+x)

получим x=13,5 кг меди нужно добавить к куску, чтобы получить 60% концентрацию.

Задача. Смешали 20% и 40% растворов соляной кислоты и получили 25% раствор. Найти отношение масс исходных растворов.

Решение: 1 способ:

Обозначим за x 1 – абсолютное содержание кислоты в I растворе

x 2 – абсолютное содержание кислоты во II растворе

за m 1 – общую массу I раствора

за m 2 – общую массу II раствора

Тогда концентрация I раствора: 0,2 (1)

концентрация II раствора: 0,4 (2)

При смешивании двух растворов общая масса смеси будет равна m 1 +m 2 , а абсолютное содержание чистой кислоты в смеси – x 1 +x 2

Тогда процентное содержание кислоты в смеси равно 0,25 (3)

выразим x 1 и x 2 из (1) и (2) равенства, и получим и подставим в (3)

Таким образом, отношение масс исходных растворов равно 3:1.

В чём необычность данной задачи?

В том, что получили при решении задачи одно уравнение, а неизвестных – два!

1 раствор 20 40-25=15 3

2 раствор 40 25-20=5 1

Таким образом, отношение масс исходных растворов равно 3:1.

Задача. Имеются два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100 г I раствора и 200 г второго, то получится 50% раствор. Если же слить 300 г I раствора и 200 г второго, то получится 42% раствор. Определить концентрацию данных растворов.

1) Найдем абсолютное содержание соли после того, как слили 100 г I раствора и 200 г второго.

2) Найдем абсолютное содержание соли после того, как слили 300 г I раствора и 200 г. второго

3) обозначим за x – концентрацию соли в I растворе

за y- концентрацию соли во II растворе

тогда абсолютное содержание соли после I смешивания:

после II смешивания:

Получим систему уравнений с двумя неизвестными

Решая её, получим x=0,3=30% - концентрация соли в I растворе

y=0,6=60% - концентрация соли во II растворе

Ответ: 60% - концентрация соли во II растворе, 30% - концентрация соли в I растворе

Задача . Имеются два слитка, содержащие серебро. Процентное содержание серебра в I слитке на 40% меньше, чем во II слитке. После того, как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% серебра. Найти массу I и II слитков, если в I слитке было 6 кг серебра, а во II – 12 кг.

Пусть масса I слитка – x кг, а II – у кг, тогда 6/x - процентное содержание серебра в I слитке, а 12/y- процентное содержание серебра во II слитке. Так как 12/y больше чем 6/x на 40%, можно составить уравнение 12/y - 6/x =0,4

После того, как куски сплавили, процентное содержание серебра в новом куске стало 36%, т.е. (12 + 6) /(x+y) =0,36 , где 12+6 – абсолютное содержание серебра, а (x+y) – общая масса.

Решая систему, получим:

Откуда y 1 =20 кг, y 2 =75 кг – не удовлетворяет условию x+y=50 кг

Итак, масса I слитка – 30 кг.

Ответ: 30 кг, 20 кг.

Задача. Сколько по массе 90%-го и 60%-го растворов фосфорной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-го раствора фосфорной кислоты?

Составим диагональную схему:

х : у = 20 : 10 = 2 : 1.

Значит, 90%-го раствора фосфорной кислоты надо взять в 2 раза больше, чем 60%-го, т.е. х = 2 y .

Составим уравнение: 2 y + y = 5,4.

Отсюда y = 1,8 кг.

Ответ. 3,6 кг 90%-го и 1,8 кг 60%-горастворов фосфорной кислоты.

Задача. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Пусть проба сплава равна х .

Составим диагональную схему:

(864 – х ) : ( х – 600) = 75 : 150 = 1 : 2;

1728 – 2 х = х – 600; х = 776.

Ответ. Получили сплав 776-й пробы.

Задача. Смешали некоторые количества 72%-го и 58%-го растворов кислоты, в результате получили 62%-й раствор той же кислоты. Если бы каждого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25%-й раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси?

Дважды используем диагональную схему:

х : у = 4 : 10 = 2 : 5.

( х + 15) : ( y + 15) = 5,25 : 8,75 = 3 : 5.

Составим систему уравнений и решим ее:

Ответ. В первой смеси было 12 л 72%-го раствораи 30 л 58%-го раствора.

Задача. Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно получить из 200 г 70%-го раствора спирта?

9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя его водой. В воде 0% спирта. Применим диагональную схему:

х : у = 63 : 9 = 7 : 1.

Значит, 1 часть 70%-го раствора спирта надо разбавить 7 частями воды. Поэтому 200 г 70%-го раствора спирта надо разбавить 200•7 = 1400 г воды.

Всего получим: 200 + 1400 = 1600 г 9%-го раствора спирта.

Ответ. Из 200 г 70%-го раствора спирта можнополучить 1 кг 600 г 9%-го раствора спирта.

Задача. Два сосуда с раствором соли поставлены для выпаривания. Ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для каждого сосуда. Из первого сосуда получено 48 кг соли, а из второго, стоявшего на 6 дней меньше - 27кг. Если бы первый сосуд стоял столько же дней, сколько второй, а второй столько же, сколько первый, то из обоих растворов получилось бы одинаковое количество соли. Сколько дней стоял каждый раствор?

Решение: Обратим внимание на фразу из задачи: ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для каждого сосуда.

Это надо понять так, что масса получаемой соли прямо пропорциональна количеству дней выпаривания, при этом количество соли, получаемой каждый день, это и есть коэффициент пропорциональности. То есть имеем функциональную зависимость:

Количество выпариваемой соли = скорость выпаривания * количество дней.

Пусть к 1 – коэффициент пропорциональности для первого сосуда, к 2 – для второго сосуда. х дней выпаривали соль из первого сосуда.

Составим и решим систему уравнений:

Подставим полученные значения в третье уравнение системы

Обозначив участвующие здесь обратные дроби соответственно как t и 1/t, получим, что t=3/4

Итак,24 дня стоял первый сосуд, а на 6 дней меньше, или 18 дней стоял второй сосуд.