Случайная величина и ее распределение

Во многих практических задачах мы имеем дело с такими экспериментами, в которых мы изучаем некоторые числовые характеристики. Приведем несколько примеров из тех, что встречались нам ранее.

1. Симметричную монету подбрасываем три раза и отмечаем число выпавших гербов.
2. Симметричную кость подбрасываем два раза и отмечаем сумму выпавших очков.
3. Пусть мы имеем схему Бернулли с n испытаниями и подсчитываем число успехов.

Во всех этих примерах мы видим, что в результате эксперимента мы получаем некоторое число, которое однозначно определяется элементарным исходом. Это приводит нас к определению случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов. Элементарные соображения, связанные с решением практических задач, показывают, что эта функция не может быть произвольной, а должна удовлетворять определенным ограничениям. Действительно, как отмечалось выше, вероятностное пространство есть тройка . В качестве событий рассматриваются

только те подмножества пространства , которые принадлежат -алгебре . Только им мы можем приписать некоторую вероятность. С практической точки зрения хотелось бы, чтобы все множества вида , где - случайная величина, были событиями и им можно было приписать вероятность. Это приводит нас к следующему определению.

Определение 1 . Пусть - вероятностное пространство, а - вещественная прямая с выделенной на ней борелевской -алгеброй подмножеств. Случайной величиной называется функция , которая обладает следующим свойством:

Такая функция называется измеримой. Таким образом, случайными величинами мы будем называть вещественные измеримые функции на пространстве . Случайные величины мы будем обозначать в дальнейшем греческими буквами и т. д.

Замечание. С практической точки зрения достаточно было бы потребовать выполнения свойства 1 для интервалов, т. е. когда . Но нетрудно доказать, что тогда оно справедливо и для любых борелевских множеств (задача!).

Определение 2 . Распределением случайной величины называется функция , заданная на борелевской -алгебре по правили:

Распределение вероятностей случайной величины показывает, какова вероятность попадания случайной величины в то или иное множество. Необходимо отметить, что наша модель случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов - это некоторая абстракция. В реальном эксперименте мы производим измерение и получаем конкретное число. По большому числу независимых измерений мы можем вычислить частоты, а значит, и вероятности попадания в различные множества и больше ничего. Таким образом, объективной характеристикой случайной величины является ее распределение, так как только его мы можем восстановить на основе результатов эксперимента.

Но распределение случайной величины - это довольно сложный объект, так как надо задать вероятность для всех борелевских множеств , которых достаточно много. Для более компактного описания распределения вводится понятие функции распределения.

Определение 3 . Функция распределения случайной величины определяется по правилу:

Используя свойства вероятностей событий, нетрудно доказать следующее

Предложение 1 . Если - функция распределения случайной величины , то

1. , 0 1,
2. Если , то ,
3. - непрерывна слева,

Доказательство. Свойство 1 следует из свойств вероятностей событий. Определим событие . Если , то и

Пусть последовательность монотонно возрастает и = . Тогда последовательность событий также монотонно возрастает и . Используя свойства непрерывности вероятности, получаем

Аналогично доказывается свойство 4.

Нетрудно заметить, что

Замечание. Зная функцию распределения случайной величины , мы можем восстановить и все распределение. Наметим схему доказательства.

1. Для интервалов вида вероятность находится из свойства 5 функции распределения.
2. Если борелевское множество есть сумма конечного или счетного числа непересекающихся интервалов, то вероятность попадания в такое множество равна сумме вероятностей попадания в составляющие его интервалы.
3. Произвольное борелевское множество можно аппроксимировать (в определенном смысле) множествами из пункта 2 так, что вероятность попадания в это борелевское множество является пределом вероятностей попадания в аппроксимирующие множества (пример - площадь круга).

Классификация распределений

В реальных задачах нам редко приходится работать с распределениями общего типа. Чаще всего мы имеем дело с так называемыми дискретными и абсолютно непрерывными распределениями и их смесями. Ниже мы приводим соответствующие определения и примеры.

Определение 4 . Случайная величина имеет дискретное распределение, если существует такое конечное или счетное множество , что . Числа называются значениями случайной величины , а вероятностями этих значений.

Предложение 2 . Пусть случайная величина имеет дискретное распределение с множеством значений и вероятностями этих значений . Тогда

Задача 1 Доказать предложение 2.

Из свойства3 мы видим, что, зная множество значений и вероятности всех возможных значений, можно восстановить и все распределение . Поэтому пару называют распределением дискретной случайной величины (что, строго говоря, не совсем верно) и записывают ее в виде таблицы распределения

Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают три раза, случайная величина есть число выпавших гербов. Это дискретная величина с таблицей распределения

Определение 5 . Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует такая вещественная функция , что

Функция называется плотностью распределения случайной величины .

В дальнейшем абсолютно непрерывные распределения будут называться просто непрерывными.

Предложение 3 . Пусть случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью распределения Тогда справедливы следующие свойства.

6. , где непрерывна .

Задача 2 . Доказать предложение 3.

Свойства 1 и 2 являются характеристическими свойствами плотности распределения. Любая функция , обладающая свойствами 1 и 2, является плотностью распределения некоторой случайной величины . Из свойства 3 мы видим, что, зная плотность распределения, мы можем восстановить и все распределение.

Пример 2. Из отрезка случайным образом выбирают точку, Ј-координата выбранной точки.

Используя геометрическое определение вероятности, получаем

Это равномерное распределение на отрезке

Кроме дискретных и абсолютно непрерывных, существуют еще так называемые сингулярные распределения. В нашем курсе мы не будем рассматривать распределения такого типа.

Определение 6. Пусть - конечное или счетное множество, - некоторый набор положительных чисел, а - некоторая неотрицательная функция. Распределение случайной величины называется смешанным, если

называется дискретной компонентой, а плотность - непрерывной компонентой распределения с.в. . Числа

называются весами соответствующих компонент. Ясно, что . Если распределение содержит только одну компоненту, то оно называется чистым.

Пример 3 . Из отрезка случайным образом выбираем точку

Такого типа преобразования часто применяются в теории страхования. Случайная величина имеет две дискретные точки и с вероятностями , и равномерное распределение на отрезке , т.е. при . Веса компонент равны и

Примеры стандартных распределений

В этом разделе мы приведем несколько примеров дискретных и непрерывных распределений, которые применяются как при исследовании теоретических вопросов, так и при решении практических задач.

1. Случайная величина имеет вырожденное в точке распределение, если Фактически мы имеем не случайную величину, а константу.

2. Случайная величина называется индикатором события , если

Это дискретная случайная величина с множеством значений и вероятностями значений . Ее распределение называется распределением Бернулли с параметром . Обозначение:

Индикатор события является в некотором смысле ’’элементарным кирпичиком” при построении произвольных дискретных случайных величин.

Задача 3 . Пусть есть дискретная случайная величина с множеством значений и вероятностями значений . Обозначим . Тогда V Ю

3. Дискретная случайная величина имеет биноминальное распределение с параметрами и , если и

В этом случае будем писать . Здесь - целое число, . Эта случайная величина есть число успехов в п независимых испытаниях схемы Бернулли. Такие величины часто появляются в теории страхования, социологии, экономике, физике и других науках.

4. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , если и

Здесь . Эта случайная величина равна числу испытаний в схеме Бернулли, предшествующих появлению первого успеха.

5. Дискретная случайная величина имеет отрицательное биноминальное распределение с параметрами и , -целое, , если и

При = 1 получаем геометрическое распределение. Эти случайные величины равны числу испытаний в схеме Бернулли, предшествующих появлению -го успеха. Это распределение часто используется в теории страхования при описании числа исков, поступивших в страховую компанию за определенный промежуток времени.

6. Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если и

Появляется как предельный случай для биноминального распределения, если . Часто используется в теории страхования, теории массового обслуживания, теории надежности и других прикладных разделах теории вероятностей. Описывает, как правило, число исков, заявок, отказов, поступивших за определенный промежуток времени.

7. Случайная величина имеет равномерное на отрезке распределение, если у нее существует плотность

Эта модель часто используется для описания распределения случайного момента времени, если известно, что он меняется в ограниченном интервале.

8. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром , если она обладает плотностью

Это распределение обладает целым рядом замечательных свойств и часто используется при описании времени между поступлениями двух последовательных заявок, исков, отказов и т.п.

9. Случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами , если оно обладает плотностью

есть гамма-функция Эйлера. Напомним, что гамма-функция обладает следующими свойствами:

Это распределение находит применение в теории массового обслуживания, теории надежности, теории страхования и риска и других прикладных разделах теории вероятностей. При получаем показательное распределение с параметром .

10. Случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами , , если оно обладает плотностью

Мы будем использовать обозначение

Если , то мы имеем стандартное нормальное

распределение. В этом случае

Функция есть функция распределения стандартного нормального закона. Часто используется другая функция которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Справедливы следующие соотношения:

Для функций , и составлены подробные таблицы

(смотри, например, Большев Л.H., Смирнов Н.И. ’’Таблицы математической статистики”). Ниже будет показано: если , то случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Таким образом, зная или , мы можем вычислять вероятности для случайных величин с произвольным нормальным распределением. Например,

т. е. практически достоверно, что случайная величина отклоняется от точки а на расстояние не более . Этот результат часто применяется на практике и носит название ’’правило трех ”.

Функциональные преобразования случайной величины.

Одной из наиболее важных прикладных задач, связанных со случайными величинами, является задача нахождения распределения функции от случайной величины. При этом в качестве функционального преобразования нужно брать такое, чтобы мы получили вновь случайную величину.

Определение 7. Функция : называется борелевской, если множество

также является борелевским.

Если есть случайная величина, а

борелевская функция, то также является случайной величиной. Действительно,

Тогда является случайным событием для любого

Найдем распределение с.в. . По определению т. е.

Покажем, как это можно записать в терминах функций распределения. В общем случае это сделать не удается, но в некоторых специальных случаях можно получить удовлетворительные результаты.

Предложение 4 . Пусть - строго монотонная функция.

Тогда для мы имеем , если строго возрастает, и , если строго убывает.

Доказательство. Докажем результат для случая строго возрастающей функции . Второй случай доказывается аналогично. По определению функции распределения

1. . Тогда для получаем

В частности, если имеет плотность , то существует

Рассмотрим теперь подробнее случаи дискретного и абсолютно непрерывного распределений.

Если имеет дискретное распределение с множеством значений и вероятностями появления значений , то случайная величина также будет иметь дискретное распределение с множеством значений , где

для некоторого , и вероятностями значений

Пример. Случайная величина имеет дискретное распределение следующего вида:

Тогда случайная величина является дискретной и принимает значения 0,1 и 4 с вероятностями

Если имеет непрерывное распределение с плотностью , то распределение случайной величины может и не являться непрерывным. Более того, оно может быть даже дискретным.

Пример, имеет равномерное на распределение,

Случайная величина принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями

Таким образом, на функцию необходимо наложить некоторые дополнительные ограничения. Один частный, но практически важный случай рассматривается в следующей теореме.

Теорема 1 . Пусть с.в. имеет непрерывное распределение с плотностью , - строго-монотонная дифференцируемая функция. Тогда с.в. также имеет непрерывное распределение и ее плотность имеет вид

Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда строго возрастает. Пусть такая точка, что

Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций, получаем

Доказательство для строго убывающей функции аналогично.

Аналогичную теорему можно сформулировать и для случая немонотонных функций . Но такого рода результат редко используется в реальных задачах. Обычно легче провести заново все расчеты в каждом конкретном случае.

Пример. С.в. , найти распределение с.в.

Новая случайная величина принимает только положительные значения. Пусть I.