Урок по математике "Дисперсия чисел"

Урок передачи-усвоения новых знаний, умений и навыков.

Тема: Дисперсия. Её свойства.

Задача: заключается в определении свойств дисперсии случайной величины и в выводе формулы для ее расчета.

1. Организационный момент.
2. Повторение старого и изучение нового материала.
3. Закрепление нового материала.
4. Домашнее задание.

1. Проверка присутствующих учеников на уроке.

2. Математика – королева всех наук! Без нее не летят корабли, Без нее не поделишь ни акра земли, Даже хлеба не купишь, рубля не сочтешь, Что по не узнаешь, а узнав не поймешь!

Учитель: “Итак, математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину”

Ученик 1: “О как же так выходит я совсем пустяк”.

Ученик 2: “Да, ты право, правду говоришь”.

Ученик 1: “Но кто заменит вдруг меня, ведь моя формула, то всем нужна”.

Ученик 2: “Да, ты сначала про себя все вспомни”.

Ученик 1: “Без проблем, вот эти формулы, они известны всем. И если множество значений бесконечно, то ожидание находится как ряд, точнее его сумма:

А, если величина вдруг непрерывна, то рассмотреть имеем право мы предельный случай, и вот в итоге что получим:

Ученик 2: “Но это все смешно ведь ожидание не существует. Нет его!”.

Ученик 1: “Нет, ожидание существует, когда является абсолютно сходящимся и интеграл и сумма”.

Ученик 2: “И все же я твержу одно, нам ожидание не нужно”.

Ученик 1: “Ах как же так? Да это просто ”.

Учитель: “Стоп, стоп, закончим спор. Возьмите ручку и тетрадь, и в путь мы будем с вами спор решать. Но прежде чем начать, давайте вспомним лишь одно, чему отклонение от математического ожидания равно”.

Ученик 3: “О, это могу вспомнить я”.

Учитель: “Пожалуйста, вот мел, доска”.

Ученик 4: “Разность X – М(Х) называется отклонением случайной величины X от ее математического ожидания М(Х). Отклонение является случайной величиной. Так как математическое ожидание случайной величины -величина постоянная и математическое ожидание постоянной равно этой

постоянной, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) = М (X) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) =0.”.

Учитель: “Да, все верно, но друзья за меру рассеяния отклонения случайной величины от ее математического это принять нельзя. И из этого последует, что рассматривают модули или квадраты отклонений. А вот теперь послушайте определение: X случайной величины – дисперсия или рассеяние – это математическое ожидание квадрата ее отклонения. Обозначается как D(X), а формула имеет вид: D(X) = М((Х – М(Х)) 2 ). (1) Теперь давайте, определим, какой же знак величине присвоим мы?”.

Ученик 5: “Из свойств и определения математического ожидания можем получить, лишь одно, что как величина дисперсия неотрицательна D(X) > 0” (2).

Учитель: “Учитывая равенство один получим формулу для нахождения дисперсии: D(X) = М(Х 2 ) – (М(Х)) 2 . Которую быть может кто – нибудь докажет”.

Ученик 6: “Давайте я попробую. D(X)=M((X – М(Х)) 2 ) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2 )=М(Х 2 ) – 2М(ХМ(Х)+М((М(Х)) 2 )=М(Х 2 ) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2 ) – (М(Х)) 2 ”. (3)

Учитель: “Рассмотрим свойства случайной величины:

1. Дисперсия С – как постоянной величины равна нулю: D(C) — 0 (С – const). (4)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X). (5)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6)

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X – Y) = D(X) + D(Y). (7)

Докажем эти свойства принимая во внимание свойства ожидания:

D(C) = М((С – М(С)) 2 ) = М((С – С 2 )) = М(0) = 0. Первое свойство доказано оно означает, что постоянная величина не имеет рассеяния так как принимает одно и тоже значение.

А теперь докажем второе свойство: D(CX) – М((СХ – М(СХ)) 2 ) = М((СХ

- СМ(Х)) 2 ) = М(С 2 (Х – М(Х)) 2 ) = С 2 М((Х – М(Х)) 2 ) = C 2 D(X).

Для доказательства третьего свойства используем формулу три:

D(X+Y) = M((X+Y) 2 ) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2 ) – (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2 )+M(2XY)+M(Y 2 ) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2 ) = M(X 2 )+2M(X)M(Y)+M(Y 2 ) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y) – (M(Y)) 2 = M(X 2 ) - (M(X)) 2 +M(Y 2 ) – (M(Y)) 2 = D(X) – D(Y).

Третье свойство распространяется на любое число попарно-независимых случайных величин.

Доказательство четвертого свойства следует из формул (5) и (6).

D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D( – Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D(Y).

Если случайная величина является X является дискретной и задан ее закон распределения Р(Х=хk) = pk (k= 1,2,3, ,n).

Таким образом случайная величина (X — М(Х)) 2 имеет следующий закон распределения: (к=1,2,3, ,n), =l.

Исходя из определения математического ожидания, получаем формулу

Дисперсия непрерывной случайной величины X, все возможные значения корой принадлежат отрезку [а,Ь] , определяется формулой:

где р(х) – плотность распределения этой величины. Дисперсию можно вычислять по формуле:

Для учеников, имеющих оценку “4” и “5” необходимо дома доказать формулу (9).

3. Закрепление нового материала в виде тестовой работы.

1) Тестовая работа по теме “Дисперсия и ее свойства”.

1. Продолжить определение: дисперсия – это.

2. Выберите правильную формулу для расчета дисперсии:

а) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2 ; б) D(X)=M(X – D(X 2 )); в)D(X)=M((X-M(X)) 2 ); г) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2 ;

3. Определите какой знак принимает дисперсия:

4. Чему равна дисперсия постоянной величины: a)D(X)=l; б) D(X)=0; в) D(X)=2; r)D(X)=-l;

5. Выберите из перечисленных те свойства, которые на самом деле соответствуют дисперсии:

6. Какое из свойств дисперсии можно применить для любого числа попарно-независимых случайных величин:

а) первое; б) второе; в) третье; г) четвертое;

7. Каким термином еще называют дисперсию:

а) рассеянием; б) разбросом; в) перемещением; г) распределением;

8. Если случайная величина X является дискретной и задан ее закон распределения Р(Х=х к )=р к. Определите в каких пределах изменяется величина к:

9. Выберите какое из четырех свойств дисперсии присуще математическому ожиданию:

10. Какому отрезку принадлежат все возможные значения дисперсии:

4. Домашнее задание: выучить определение и свойства дисперсии. Решить задачу №14. Зная, что

Найти математическое ожидание и = 2 +3, и дисперсию случайной величины и