Скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение при движении точки по окружности. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника.

2 1. Вопросы к экзамену Вопрос 1. Скользящие векторы. Операции со скользящими векторами. Момент вектора относительно точки и оси. Пара скользящих векторов, свойства пары. Приведение произвольной системы скользящих векторов к винту. Уравнение винтовой оси. Вопрос 2. Аксиомы статики. Условия равновесия систем сил. Частные случаи равновесия двух и трех сил. Равновесие системы твердых тел. Силы реакций для несвободных тел. Равновесие при наличии трения. Вопрос 3. Скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение при движении точки по окружности. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника. Вопрос 4. Сложное движение материальной точки. Относительная и переносная скорость. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки. Сложение скоростей в общем случае. Вопрос 5. Мгновенные поступательное и вращательное движения твердого тела. Сложение мгновенных движений. Теорема Эйлера о распределении скоростей точек твердого тела. Плоскопараллельное движение. Центр скоростей. Вопрос 6. Теорема Кориолиса об ускорении точки в сложном движении. Распределение ускорений точек твердого тела в пространственном и плоскопараллельном движении. Мгновенный центр ускорений. Вопрос 7. Основные законы динамики. Две задачи динамики точки. Уравнения движения в декартовой системе координат. Естественные уравнения движения точки. Основные теоремы для свободной точки. Теоремы об изменении количества и момента количества движения. Вопрос 8. Основные законы динамики. Теорема живых сил. Интеграл живых сил. Движение точки под действием центральной силы. Секторная скорость. Прямая и обратная теорема площадей. Вопрос 9. Движение точки под действием центральной силы. Секторная скорость. Первая и вторая формулы Бине. Примеры их использования. Вопрос 10. Законы Кеплера. Вывод закона тяготения из законов Кеплера. Прямая задача Ньютона. Первая и вторая космические скорости. Вопрос 11. Движение точки по гладкой кривой. Теорема и интеграл живых сил. Математический маятник.

3 Вопрос 12. Движение точки по гладкой поверхности. Теорема и интеграл живых сил. Теорема Клеро. Сферический маятник: уравнения движения и определение реакций. Вопрос 13. Относительное движение материальной точки. Теорема живых сил в относительном движении. Уравнения относительного равновесия. Вес тела на поверхности Земли. Вопрос 14. Центр масс и моменты инерций системы материальных точек. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Вычисление моментов инерции стержня, обруча и диска относительно разных осей. Вопрос 15. Связи и их классификация. Действительные и возможные перемещения. Принцип Даламбера- Лагранжа для систем с идеальными связями. Теорема об изменении количества движения системы и ее следствия. Вопрос 16. Принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями. Теорема об изменении момента количества движения системы и ее следствия. Теорема и интеграл живых сил для системы материальных точек. Вопрос 17. Теоремы о движении системы материальных точек относительно осей Кёнига. Китайский волчок. Вопрос 18. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Центр качания. Вопрос 19. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение реакций. Свободные оси вращения. Вопрос 20. Обобщенные координаты для системы материальных точек. Обобщенные силы. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода. Вопрос 21. Обобщенные координаты для системы материальных точек. Уравнение Лагранжа 2-го рода (без вывода). Функция Лагранжа. Обобщение теоремы и интеграла живых сил. Интеграл Якоби. Вопрос 22. Функция Лагранжа. Циклические и позиционные координаты. Циклические интегралы. Метод Рауса игнорирования циклических координат. Вопрос 23. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Вопрос 24.

4 Возможные траектории. Действие на возможной траектории. Принцип наименьшего действия. Семестр Перечень коротких дополнительных вопросов к тестам и экзаменам 1. Сформулировать теорему Кориолиса для сложения ускорений. Выписать условия, при которых добавочное ускорение отсутствует. 2. Точка движется по меридиану Земли со скорость пропорциональной расстоянию до оси вращения. В каком месте меридиана ускорение Кориолиса будет максимальным? 3. Сформулировать прямую и обратную теоремы площадей для точки в виде одной теоремы с необходимым и достаточным условием. 4. Выписать формулу и пояснить, что и как можно находить с помощью первой формулы Бине. 5. Выписать формулу и пояснить, что и как можно находить с помощью второй формулы Бине. 6. Метеорит упал на Землю со скоростью 6 км/сек (сопротивление воздуха не учитываем). Откуда он не мог прилететь? a) с Марса. б) с Альфа Центавра; г) с Луны; д) с Земли; 7. Сформулировать Законы Кеплера. 8. Если не пренебрегать массой планеты по сравнению с массой Солнца, то одни из законов Кеплера сохранятся в чуть измененном виде, а другие не будет выполняться. Указать, какие законы не будут выполнятся. 9. Дать определение геодезической линии на поверхности 10. Часто употребляют термин "центробежная сила". Какой силе инерции (силе Кориолиса) она соответствует? Выбор аргументировать. a) силе Кориолиса от переносного ускорения;

5 б) силе Кориолиса от добавочного ускорения; 11. Как зависят от угловой скорости ω вращения Земли силы из предыдущего пункта? 12. Какая из сила инерции в относительном движении не совершает работы. Почему? 13. Ускорение Кориолиса влияет на течение рек, точнее на форму их берегов. Как? 14. Записать уравнения равновесия точки в относительном движении (т.е. в подвижной системе координат). 15. Чем отличается вес тела от массы тела? Что и как зависит от географической широты из-за вращения Земли? 16. Что такое и чем примечателен маятник Фуко? 17. Выписать функцию Лагранжа для сферического маятника. 18. Выписать проекции ускорения свободной материальной точки в естественных осях 19. Выписать уравнения движения материальной точки в естественных осях. 20. Выписать условия, при которых выполняется теорема Клеро. Семестр Уравнение связи для материальной точки имеет вид x y + y z + zt = 1. Выписать уравнение для возможных перемещений. 2. Отметить правильное. Утверждение: "Связи, наложенные на систему материальных точек, могут быть заменены силами реакций. После такой замены система может рассматриваться как свободная от связей." является: а) одной из аксиом механики; б) теоремой механики; в) следствием из основных законов механики;

6 г) следствием из вариационных принципов; 3. Сформулировать условия, при которых выполняется принцип Даламбера-Лагранжа. 4. На основании чего внутренние активные силы могут быть исключены из основных теорем динамики систем материальных точек? 5. Пусть связи, наложенные на систему, допускают поворот всей системы, как одного тела вокруг оси Ox. Выписать возможные перемещения δx, δy, δz при таком повороте. ν ν ν 6. Вписать выражение для момента количества движения системы материальных точек относительно оси Oy через xν ( t), yν ( t), zν ( t). 7. Выписать условия достаточные для выполнения следующего следствия: J d ω z = dt M z 8. Отметить все условия, которые требуются для выполнения интеграла живых сил: a) возможные перемещения находятся среди действительных; б) действительные перемещения находятся среди возможных; г) связи не зависят от времени; д) время не зависит от связей; е) силовая функция не зависит от времени; ж) активные силы являются центральными; з) активные силы являются консервативными; 9. Отметить правильное. Потенциальная энергия системы существует а) всегда; б) только в поле консервативных сил; в) если силовая функция не зависти от времени; д) только в поле потенциальных сил 10. Диск лежит (и может двигаться) на гладкой плоскости. По диску может двигаться материальная точка. Сколько степеней свободы у системы диск+точка? Ответ пояснить.

7 11. Пусть известно, что кинетическая энергия системы совпадает с кинетической энергией этой же системы в осях Кёнига. Что можно сказать о движении этой системы? 12. Записать теорему живых сил в осях Кёнига. 13. Обосновать (доказать) фрагмент вывода уравнений Лагранжа второго рода: x& q& ν s = x q ν s 14. Обосновать (доказать) фрагмент вывода уравнений Лагранжа второго рода: &x q ν s = d x dt q ν s 15. Отметить правильное. В уравнении Лагранжа 2-го рода: d T T Qs = 0 обобщенные dt q& s qs скорости присутствуют в: а) в первом члене уравнения; б) во втором; в) в третьем; г) в первом и втором; д) в первом и третьем; е) во втором и третьем; ж) во всех. 16. Пусть функция Лагранжа имеет вид: L( ϕ, ψ,& ϕ, & ψ ) = 2& ϕ 2 + & ϕψ& cos( ψ ). Выписать для нее циклический интеграл. 17. Пояснить кратко суть метода Рауса игнорирования циклических координат. 18. Записать интеграл Якоби и условия его выполнения. 19. Выписать условия на распределение масс в твердом теле, чтобы при его вращении c большой ω вокруг оси Ox силы реакций, действующие на тело были минимальными. 20. Для функции f ( x) = e x найти g( ξ ) =?, получаемую в результате преобразования Лежандра. 21. Что можно сказать о разности функций Лагранжа и Гамильтона, если связи не зависят от времени? 22. Сформулировать принцип наименьшего действия в форме Гамильтона. 3. Типовые варианты задач для контрольных работ.

8 Контрольная 1. СТАТИКА Задача 1. Гладкая палочка АВ длиной 2b и веса Р опирается о гладкую стенку концом А и край стола С. Расстояние от стола до стенки равно a. Определить угол ϕ палочки с горизонталью, при котором возможно равновесие. Задача 2. Стержень длинны a составлен из двух однородных кусков одинаковой длины, один из которых вдвое тяжелее другого. Стержень подвешен за концы на двух нитях длиной a к гвоздю в точке P. Найти угол ϕ между стержнем и горизонталью в положении равновесия. Задача 3. Для трех шарнирной арки, показанной на рисунке определить реакции опор в точках А и В, возникающие под действием горизонтальной силы Р. Трением и весом арки пренебречь. Задача 4. Однородный прямоугольный равнобедренный треугольник опирается одной вершиной (при гипотенузе) о гладкую стенку, другой о шероховатый пол (коэффициент трения - f ). Определить угол ϕ между стороной треугольника и полом, при котором возможно равновесие. Контрольная 2. КИНЕМАТИКА Задача 1. При вращении кривошипа $ОС$ вокруг $О$ с угловой скоростью ω, ползун $А$, расположенный на нем приводит в движение стержень $АВ$ в вертикальных направляющих $D$. Расстояние от $АВ$ до $О$ равно $d$. Определить скорость ползуна по кривошипу как функцию угла ϕ.

9 Задача 2. Длина шатуна AB кривошипно-ползунного механизма в два раза больше длины кривошипа OA. Определить положение точки D шатуна AB, ускорение которой направлено вдоль шатуна, в момент, когда OA OB при условии, что кривошип OA вращается равномерно. Задача 3. Ускорения вершин А и В равностороннего -ка изображены на рисунке и по величине равны: j A = 1 м/c 2 ; j B = 3 м/c 2. Определить угловую скорость -ка и ускорение вершины С. Сторона АВ = a. Задача 4. Диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, лежащей в его плоскости и проходящей через его центр. По хорде диска, пересекающей ось под углом 30, движется точка М с постоянной скоростью u. Радиус диска r. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М как функцию расстояния s. Контрольная 3. ДИНАМИКА ТОЧКИ Задача 57. Самолет массой m в момент приземления имел скорость $v_o$. Определить, какое расстояние он пройдет до остановки при выключенных моторах, если модуль суммарного сопротивления движению выражается формулой $R=k_1v+k_2v^2$, где $k_1$ и $k_2$ -- постоянные, $v$ -- скорость самолета. Задача 68 Пуля, пробив доску толщиной $h$ изменила свою скорость от значения $v_1$ до значения $v_2$. Cчитая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости, определить время движения пули в доске. Задача 74. Материальная точка покоится в верхней точке гладкой полусферы радиуса R, а затем начинает двигаться с начальной горизонтальной скоростью v 0. Какое расстояние S она пройдет прежде, чем оторвется от сферы? Трением Задача 80. Комета движется по эллипсу, эксцентриситет которого равен e, а один фокус находится в Солнце. В ближайшей к Солнцу точке скорость кометы v 0. Найти скорость кометы, как функцию полярного угла $\varphi$.

10 Контрольная 4. ДИНАМИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ Задача 87. Горизонтальная трубка $CD$ равномерно вращается вокруг вертикальной оси $AB$ с угловой скоростью $\omega$. Внутри трубки находится шарик $M$. Определить скорость $V$ шарика относительно трубки в момент его вылета, Задача 90. Вертикальный вал с приваренным искривленным гладким стержнем вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. По какой кривой должен быть изогнут стержень, чтобы бусинка находилась в относительном покое в любом месте этого стержня? Задача 92. В полом трубчатом обруче вращающемся с угловой постоянной скоростью ω вокруг своего вертикального диаметра $2R$ находится гладкий шарик массы m. При каком max угле $\varphi_o$ нужно отпустить шарик, чтобы он не смог переехать на противоположную часть обруча? Задача 94. Точка M движется по круговому обручу радиуса R с постоянной угловой скоростью ω. С ней невесомым нерастяжимым стержнем длиной d соединен шарик массой m, способный совершать с колебания в плоскости обруча. Выписать уравнение относительного движения шарика. Контрольная 5. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ТОЧЕК Задача 98. Горизонтальная трубка CD может свободно вращаться вокруг вертикальной оси AB. Внутри трубки на расстоянии MC = a от оси находится шарик М. Трубке сообщается начальная угловая скорость ω o. Определить угловую скорость трубки и скорость шарика в момент вылета из трубки. Масса шарика m, длина трубки L, момент инерции трубки относительно оси AB равен J.

11 Задача 100. В полом трубчатом обруче, способном вращаться без трения вокруг вертикальной оси z, движется шарик массы m. Момент инерции обруча J, радиус r. Выписать уравнения движения системы. Задача 102. Однородная нить длины H, часть которой лежит на гладком горизонтальном столе, движется под влиянием другой части, которая свешивается со стола. Определить время через которое нить покинет стол, если в начальный момент длина свешивающейся части равна h, а начальная скорость равна нулю. Задача 103. Стержень длины 2a падает, скользя одним концом по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стержень занимал вертикальное положение и находился в покое. Определить скорость центра масс стержня в зависимости от его высоты h над полом. 4. Процедура оценивания. Экзамен. В письменном ответе на каждый вопрос студент должен привести необходимые для полного раскрытия вопроса: определения, вспомогательные утверждения, 1-2 основные теоремы с доказательством и следствиями, иллюстрирующие примеры. В следующей таблице приводится распределение баллов, в зависимости от полноты изложенного материала и допущенных студентом ошибок Баллы Характеристика ответа Материал изложен полностью (определения, формулировки теорем, доказательства, свойства, примеры) правильно и четко. Возможны незначительные упущения в форме изложения, не влияющие на правильность рассуждений Материал изложен в основном (отсутствуют 1-2 неглавных компонента). Отсутствует четкость в ответах на уточняющие и дополнительные вопросы Материал изложен с существенными пробелами, но главные компоненты присутствуют. Существенные пробелы в ответах на некоторые дополнительные

12 вопросы Материал изложен частично (отсутствуют или неправильные некоторые главные компоненты). Существенные пробелы в ответах на большинство дополнительных вопросов по билету Материал изложен фрагментарно (отсутствие или неправильность большинства компонент). Отсутствие ответов на большинство уточняющих и дополнительных вопросов. Если оценка за экзамен не превосходит 12 баллов, то считается, что студент не сдал экзамен и его экзаменационные баллы обнуляются. Тест (с короткими вопросами). Во время проведения теста студенты могут использовать свои материалы семинаров и лекций. В тесте участвует вопросов. Ответ на каждый вопрос оценивается от 0 до 2 баллов в зависимости от правильности, полноты и самостоятельности ответа. Полностью идентичные ответы (т.е. списанные клоны) оцениваются как 1 ответ с делением баллов на количество клонов. Задачи в контрольных работах. Во время проведения контрольных студенты могут использовать свои материалы семинаров и лекций. В контрольной 3-5 задач с общей максимальной оценкой баллов. Каждая задача оценивается в зависимости от правильности, полноты и самостоятельности решения. Идентичные решения (т.е. списанные клоны) оцениваются как 1 задача с делением баллов на количество клонов. Основная 5. Литература 1. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., с. 2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учебник для вузов. - 2-е изд. - М.: МГУ, с. ( 6 экз. в библ. ВолГУ) 3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: УчебнМашСпецВуз. - 5-е изд. - М: ВШ, с. (24 экз. в библ. ВолГУ) 4. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб.пособие для вузов / Под ред. В.А.Пальмова, Д.Р.Меркина е изд.; стер. - СПб.: Лань, с. (35 экз. в библ. ВолГУ) Дополнительная 5. Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. Изд-во МГУ с. 6. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. Уч. пособ. для втузов. - М.: Высш. шк., с. (7 экз. в библ. ВолГУ) 7. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высш. шк., с.