ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ДИСКРЕТНЫЙ СИГНАЛ

1 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА В ДИСКРЕТНЫЙ СИГНАЛ Теоретический материал В 933 году в работе "О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи" В.А. Котельников доказал теорему, ставшую основополагающей в теории и технике цифровой связи. Она гласит: если непрерывный сигнал x(t) имеет спектр, ограниченный частотой F max, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчётам, взятым через интервалы времени Т / 2F max, т.е. с частотой f д 2F max. Частота дискретизации непрерывного сигнала не должна быть меньше удвоенной ширины спектра: f д 2F max иначе произойдёт наложение спектров и будет невозможно с помощью фильтра нижних частот выделить спектр исходного непрерывного сигнала. Смысл теоремы проиллюстрируем с помощью временных диаграмм. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала x(t) в моменты времени Т, 2Т, 3Т и т.д. Т называют интервалом дискретизации по времени. Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен T, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала x(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал x(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путём дискретизации по времени, также могут принимать любые значения. На рисунке значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой. Такие сигналы называют дискретными x д (t).

2 По мгновенным значениям сигнала x(t) в моменты времени Т, 2Т и т.д. можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Т, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала x(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. При передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешённым значением. Число разрешённых значений амплитуд импульсов конечно и задано. Например, на рисунке ниже разрешённые значения амплитуд пронумерованы цифрами, 2, 3. Величина x равна разности между любыми двумя соседними разрешёнными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса дискретного сигнала, подлежащее передаче, попадает между разрешёнными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешённому значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием. Совокупность разрешённых значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал х между соседними разрешёнными значениями шагом квантования.

3 Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигналов, также является импульсным сигналом. Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешённые значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют цифровыми x ц (t). Квантование приводит к ошибке квантования ε(t) x ц (t) x д (t), которую часто называют помехой квантования или шумом квантования. Практическая часть Пример. Рассчитать интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 00 кгц. Решение. Из условия задачи следует, что граничная частота спектра F max равна 00 кгц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дискретизации Интервал дискретизации 2 F T 3 max 5мс Минимально допустимая частота дискретизации f д 2 F max кгц. Пример 2. Определить дискретные отсчёты сигнала длительностью t 3 мс, приведенного на рисунке, если в качестве граничной частоты спектра F max принять значение 3/t, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 0 раз по сравнению с максимальным. Решение. Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот превышающих F max, привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере. Граничная частота спектра 3 3 t 3 0 Fmax 3 кгц

4 Интервал дискретизации 2 F 2 0 T 3 max 0.5мс Берём отсчеты сигнала, приведённого на рисунке, через интервал времени T 0.5 мс и получаем последовательность x(n) , изображённую графически на рисунке ниже Пример 3. Рассчитать частоту дискретизации группового сигнала вторичной стандартной 60-канальной группы, где ширина спектра частот группы кгц. Решение. F н 342 кгц, F в 552 кгц. Из условия теоремы Котельникова f д , но для полосовых сигналов f д может быть определена из соотношения F в <f д <2F н находим, что f д 600 кгц. Пример 4. Передаётся речевой сигнал в полосе частот от 0 до 3000 Гц. Время передачи t 0 сек. Каждый дискретный отсчёт кодируется 5 двоичными разрядами. Определить минимальный объём памяти, требуемый для хранения информации. Решение. Из условия задачи имеем: F max 3000 Гц. Тогда по теореме Котельникова имеем интервал дискретизации T 2 F max c Следовательно, число отсчётов на заданном интервале t равно: 0 N t T Объём памяти, требуемый для хранения информации, равен бит. Задание. Рассчитать интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше F кгц. Задание 2. Рассчитать частоту дискретизации группового сигнала, если известна ширина спектра. (кгц). Для полосовых сигналов f д может быть определена F max <f д <2F min.

5 Задание 3. Выбрать частоту дискретизации для дискретизации сигналов вещания первого класса с диапазоном частот. кгц. Для телефонного сигнала стандартная частота дискретизации f д 8 кгц. При организации канала вещания (вместо трёх телефонных каналов) частота дискретизации сигналов вещания должна быть кратна частоте дискретизации телефонного канала и равна кгц. Данные для выполнения заданий варианта Задание частота F, кгц Задание 2 ширина спектра, кгц Задание 3 диапазон частот, кгц кгц кгц кгц 0,03 8кГц кгц кгц кгц 0,05 0кГц 5 2, кгц 0, 8 кгц кгц кгц кгц 0,03 8кГц кгц кгц кгц 0,05 0кГц кгц 0, 8 кгц ,03 6 кгц кгц кгц Контрольные вопросы. Как нужно выбирать интервал дискретизации сигнала, чтобы можно было однозначно восстановить непрерывный сигнал по его дискретным отсчетам? 2. Как выбирается минимальная частота дискретизации? 3. Найти частоту дискретизации и интервал дискретизации сигнала, имеющего спектр, ограниченный частотой F max 0 кгц. А что будет, если брать отсчёты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова? В этом случае возникает эффект "алиасинга" (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует.

6 На рисунке ниже представлено появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации. Красная синусоида высокой частоты это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол периода высокочастотного сигнала. Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты не пропускает. СПОСОБЫ ЗАПИСИ ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА Теоретический материал Любой дискретный сигнал можно записать в виде последовательности отсчётов . Например, рассмотрим последовательность, образованную в результате дискретизации экспоненты x(t) exp( 0.2t), t 0, с периодом T 0.5 сек. При реализации дискретизации возьмём значение сигнала в моменты времени nt: T, 2T, 3T и т.д. Получим x(0) exp( 0.2 0) exp(0), x() exp( ) exp( 0.) , x(2) exp( ) exp( 0.2) 0.887, x(3) exp( 0.2.5) exp( 0.3) и т.д. Очевидно, любой дискретный сигнал x(n) можно представить и в виде суммы единичных импульсов, сдвинутых во времени: + n) x ( x( i) δ ( n i), где δ(n), n 0 0, n 0 цифровая дельта-функция или короткий единичный импульс. Например, пусть дискретный сигнал задан отсчётами x(n) . Тогда аналитическая запись дискретного сигнала x(n) 2δ(n ) 3δ(n 2) + δ(n 3), n 0. i

7 Следующий способ представления дискретного сигнала решетчатая функция, значения которой определены в дискретные моменты времени (при t kt, k целое число). Любая числовая последовательность некоторой величины может быть представлена решетчатой функцией. Например, для аналогового сигнала, заданного функцией x(t) exp(αt), дискретизированного с периодом T 0.5 сек, решетчатая функция будет иметь вид F(n) x(t) t nt exp(0.5n). Практическая часть. Функция x(t) 0 sin(5t), t > 0, описывает сигнал, который изменяется на интервале [0, + ) по синусоидальному закону с амплитудой 0 единиц и частотой 5 радиан в секунду. Для данного сигнала вычислить первые три значения дискретной последовательности x(n) с периодом T Вычислить первые пять значений дискретной последовательности x(n), полученной в результате дискретизации с периодом T 0.0 с для сигнала x(t) 0 cos(2t). 3. Вычислить первые семь значений дискретной последовательности x(n), полученной в результате дискретизации с периодом T 0.0 с для сигнала x(t) 0.25 t Сигнал описывается функцией x(t) 0exp( 4t) l(t). Записать дискретную последовательность x(n), если период дискретизации T 0.05 с. 5. Записать дискретную последовательность x(n), у которой период дискретизации T 0, мс, для прямоугольного импульса x(t) 5, 0, 0 t 0.4 мс t< 0, t 0.4 мс. 6. Пусть дискретный сигнал x(n) . Привести аналитическую запись сигнала x(n) Привести аналитическую форму записи дискретного сигнала x(n) Привести аналитическую форму записи дискретного сигнала x(n) 0,5 0 n 0 n, 2, 3. n> 3 n 0 n n>. 9. Привести аналитическую форму записи дискретного сигнала x(n) n 8 0 n 0, n> 8.

8 0. Привести аналитическую форму записи дискретного сигнала x(n), изображённого на рисунке. Привести аналитическую форму записи дискретного сигнала x(n), изображённого на рисунке 2. Записать решетчатую функцию, полученную в результате дискретизации с периодом Т 0. с. экспоненциального сигнала x(t) 4 exp( 0.5t), t Записать решетчатую функцию, полученную в результате дискретизации с периодом Т 0. с. синусоидального сигнала x(t) sin(2.5πt). 4. Записать решетчатую функцию, полученную в результате дискретизации с периодом Т 0.2 с. сигнала x(t) 3 t, t 0.