Оптимизация системы массового обслуживания с резервным прибором с управлением, зависящим от времени ожидания Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Самочернова Лидия Ивановна

Изучена система обработки информации, функционирование которой описано математической моделью системы массового обслуживания с резервным прибором, управляемым по текущему времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Проведена оптимизация системы при учете потерь на ожидание и амортизацию .

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Самочернова Лидия Ивановна

Information handling system has been studied. Its functioning is described by mathematical model of serving system with a backup device controlled by current time of waiting for order being in the first order. The system was optimized allowing for losses by waiting and depreciation .

Текст научной работы на тему «Оптимизация системы массового обслуживания с резервным прибором с управлением, зависящим от времени ожидания»

1. ISO/IEC 11172-2: Coding of moving pictures and associated audio for digital storage media at up to about 1,5 Mbit/s - P. 2: Video: англ. - ISO/IEC, 1993.

2. Lee J.-B., Kalva H. The VC-1 and H.264 video compression standards for broadband video services: англ. - N.Y.: Springer publishing, 2008. - 496 p.

3. SMPTE 421M-2006: VC-1 compressed video bitstream format and decoding process: англ. - SMPTE, 2006.

4. MainConcept VC-1 Pro // MainConcept: Information. 2009. URL: http://www.mainconcept.com/site/prosumer-products-4/vc-1-pro-20250/information-20270.html (дата обращения: 14.10.2009).

Поступила 12.02.2010 г.

ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С РЕЗЕРВНЫМ ПРИБОРОМ С УПРАВЛЕНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ

Томский политехнический университет E-mail: am@am.tpu.ru

Изучена система обработки информации, функционирование которой описано математической моделью системы массового обслуживания с резервным прибором, управляемым по текущему времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Проведена оптимизация системы при учете потерь на ожидание и амортизацию.

Система, обслуживание, время ожидания, амортизация, оптимальный момент. Key words:

System, service, queuing time, depreciation, optimal moment.

Значительное число работ [1-10] посвящено изучению управляемых систем массового обслуживания (УСМО). Это связано с тем, что именно УСМО удается описывать функционирование многих реальных технических систем, в частности, систем связи. Во многих работах изучаются системы массового обслуживания (СМО), в которых интенсивность обслуживания, моменты включения и отключения резервного прибора зависят от числа заявок в системе или от длины очереди. Однако системы, в которых стратегия управления резервным прибором зависит от времени ожидания, остались изученными очень слабо.

Данная статья посвящена оптимизации системы обработки информации, функционирование которой описано математической моделью УСМО с резервным прибором, управляемым по текущему времени ожидания заявки, находящейся первой в очереди.

1. Описание системы

По некоторому каналу связи поступают сообщения, которые должны обрабатываться ЭВМ. Эти сообщения посылаются большим количеством источников информации, так что общий поток таких сообщений можно считать пуассоновским. После предварительной обработки эти сообщения поступают для дальнейшей обработки на специализиро-

ванную ЭВМ, которая в каждый момент времени может обрабатывать только одно сообщение. Оставшиеся сообщения записываются на диске и образуют очередь. Кроме основной имеется резервная ЭВМ, которая вводится, в основном, для повышения надежности всей системы. На обрабатываемые сообщения накладывается требование обработать их к определенному сроку. Поэтому, когда сообщений в очереди оказывается слишком много, и время ожидания сообщения, находящегося в очереди первым, достигает некоторой пороговой величины, резервная ЭВМ подключается к их обработке. Эту реальную систему опишем следующей математической моделью УСМО с резервным прибором.

Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания с простейшим входящим потоком интенсивности Я, к которой может подключаться резервный прибор. Обслуживание предполагается экспоненциальным с интенсивностями ¡л1 и ¡л2 соответственно для основного и резервного приборов. Если заявка, находящаяся в некоторый произвольный момент времени t первой в очереди, поступила в систему в момент времени ¡0, то величину будем называть текущим временем ожидания заявки, находящейся первой в очереди. Дисциплина обслуживания резервным прибором следующая: как только 5 - текущее время ожидания заявки, находящейся в очереди первой, достигает величины 50 (50=сош1>0), подключается резервный при-

бор и берет на обслуживание заявку, стоящую первой в очереди. После обслуживания одной заявки он выключается, если s<s0, но продолжает работать, если s>s0. Необходимо найти такой оптимальный момент подключения s0opt резервного прибора, который бы минимизировал средние суммарные потери такой системы в единицу времени.

Опишем рассматриваемую систему массового обслуживания случайным процессом с компонентами , где s(t) - текущее время ожидания заявки, находящейся первой в очереди, v(t) - число требований, находящихся в момент времени t на обслуживании на основном приборе, а v2(t) - число требований, находящихся в момент времени t на обслуживании на резервном приборе, v(t)=0,1; v2(t)=0,1. Кроме того, возможны еще четыре особых состояния: (система пуста); (очередь пуста и работает только резервный прибор); (очередь пуста и работает только основной прибор); (очередь пуста и работают оба прибора: и основной, и резервный).

Рассматривая возможные переходы за бесконечно малый промежуток времени в заданное состояние, можно показать аналогично тому, как сделано в [7], что вероятности переходов не зависят от предыстории, так как поток заявок простейший, а обслуживание экспоненциальное. Следовательно, процесс с особыми состояниями , , , является марковским случайным процессом. Предположим, что существует стационарное распределение вероятностей, которое, как известно, совпадает с финальным. Достаточным условием существования стационарного режима работы рассматриваемой системы массового обслуживания является условие [7]: Я<ц+ц2.

Финальную плотность вероятностей p(s, v1, v2) величины (s, v1, v2) обозначим через p1(s) в области 0<s<s0, если v1=1, v2=0; p2(s) области 0<s<s0, если v1=1, v2=1; p3(s) в области s>s0, для которой v1=1, v2=1. Обозначим через я:(0,0) - финальную вероятность особого состояния (вероятность того, что система пуста); тт(0,1) - финальную вероятность того, что система находится в состоянии , когда очередь пуста, основной прибор не работает, а работает только резервный прибор; тт(1,0) - финальную вероятность того, что в очереди заявок нет, резервный прибор не работает, а работает только основной прибор, то есть вероятность особого состояния ; тт( 1,1) - финальную вероятность того, что очередь пуста, а основной и резервный приборы обслуживают заявки, то есть вероятность особого состояния .

Как показано в _[7], финальные плотности вероятностей p(s) (/=1,3) и финальные вероятности особых состояний тт(0,0), тт(0,1), тт(1,0), тт(1,1) имеют следующий вид: