Примеры решения задач. 1.Два шарика одинакового объема, обладающие массой 0,6·10-3 г каждый, подвешены на шёлковых нитях длиной 0,4 м так

1.Два шарика одинакового объема, обладающие массой 0,6·10 -3 г каждый, подвешены на шёлковых нитях длиной 0,4 м так, что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись нити при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен 60 0 . Найти величину зарядов и силу электрического отталкивания.

Дано: m = 0,6·10 -3 г = 0,6·10 -7 кг; l = 0,4 м; α= 60 0 ; q1 = q2 =q.

Решение: В результате электростатического отталкивания заряды разойдутся на расстояние равное 0,4 м. Исходя из условия равновесия, запишем:

В проекциях на ось Х и ось Y получим:

Поделив первое уравнение на второе получим:

, учитывая что или , где k0 = ; получим: , откуда .

Подставим данные: = 7,8·10 -9 Кл.= 7,8 нКл

При этом сила отталкивания будет равна:

Ответ: Fк = 3,4·10 -6 Н., q=7,8 нКл

2. Вычислить ускорение, сообщаемое одним электроном другому, находящемуся в вакууме на расстоянии 1 мм от первого.

Дано: q = 1.6 · 10 -19 Кл; r = 1 мм = 10 -3 м.

Решение. По закону Кулона электроны, находящиеся в вакууме на расстоянии r, взаимодействуют (отталкиваются) с силой ;

Под действием этой силы в соответствии со вторым законом Ньютона электрон приобретает ускорение: , где m – масса электрона. Тогда ;

Ответ: а = 2,5∙10 8 м/с 2 = 250 Мм/с 2 .

3 .Заряды по 1 нКл помещены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,2 м. Равнодействующая сил, действующих на четвертый заряд, помещенный на середине одной из сторон треугольника, равна 0,6 мкН. Определить этот заряд, напряженность и потенциал поля в точке его расположения.

Дано: q1 = q2 = q3 = q = 1нКл = 10 -9 Кл; F = 0,6 мкН = 0,6∙10 -6 Н;

Решение. Предположим, что в вершинах равностороннего со сторонами «а» треугольника АВС находятся одинаковые положительного знака заряды q, которые создают электрическое поле в точке D, расположенной на середине одной из сторон «а». Пусть в точке D находится положительного знака неизвестный заряд qХ. Равнодействующая сил, действующих на заряд qХ, равна векторной сумме кулоновских сил со стороны зарядов q, находящихся в точках А, В и С (см. рисунок): А.+ В + С. Как следует из рисунка, кулоновские силы FА и FС одинаковые по величине (в силу равенства зарядов q и расстояний AD = АС = а/2), но противоположны по направлению, и их векторная сумма равна нулю. В результате равнодействующая сил от трех зарядов, будет равна кулоновской силе, действующей на заряд qХ со стороны заряда q, находящегося в точке В: F = FB.

Поскольку заряды q и qХ являются точечными, то можно записать:

, (1) где r – расстояние между зарядами q и qX. Как следует из рисунка: r = BD= (2) Подставив (1) в (2) имеем: qX = . Вычисления дают:

Напряженность является силовой характеристикой электрического поля и связана с кулоновской силой, действующей на заряд qX, соотношением:

E = F/qX. (3) Найдем значение поля Е в точке D: E = .

Потенциал является энергетической характеристикой электрического поля, поэтому потенциал поля в точке D будет равен алгебраической сумме потенциалов от зарядов q, находящихся в точках А, В и С:

Потенциал поля от точечного заряда равен: , где r – расстояние от точки, в которой рассчитывается потенциал, до точечного заряда. Следовательно, потенциал поля в точке D в силу уравнения (4) будет равен:

φ = ; (5) Подставив численные значения физических величин в (5) имеем: φ = = 231 В.

Ответ: qX = 2∙10 -9 Кл, Е = 300 В/м, φ = 231 В.

4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии

а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Дано: R = 1 см = 10 -2 м, τ = 20 нКл/м = 20∙10 -9 Кл/м, a1 = 0,5 см, a2 = 2 см.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: .

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде: , или dφ =-Edr.

Интегрируя полученное выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра : φ1 – φ2 (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: .

Подставив это выражение Е в (1), получим:

Подставим числовые значения. Так как величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, то их можно выразить в любых, но одинаковых единицах: r1 см; r2 см.

Следовательно: = 250 В.

5. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 = 10 6 м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.

Дано: v1 = 10 6 м/с, n = 2, m = 9,1∙10 -31 кг, e = 1,6∙10 -19 Кл.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля по переносу заряда (электрона). Эта работа определяется произведением заряда электрона e на разность потенциалов U:

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона: , (2)

где T1 и T2- кинетические энергии электрона до и после ускорения в поле; m- масса, а v1 и v2 начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим: , или:

Отсюда искомая разность потенциалов: (3)

Подставив числовые значения физических величин, имеем:

Ответ: U = 8,53 В.

6. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором, емкость которого С2 = 5 мкФ. Какая энергия ∆W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия ∆W, израсходованная на образование искры: (1), где W1- энергия которой обладает первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2- энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле: , (2)

где С- емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U- разность потенциалов на обкладках конденсаторов. Подставив в (1) энергии W1 и W2 из (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:

(3), где С1 и С2- емкости первого и второго конденсаторов; U1- разность потенциалов; до которой был заряжен первый конденсатор; U2- разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U2 следующим образом: . Подставив выражение U2 в формулу (3), получим: После простых преобразований найдем:

В полученное выражение подставим числовые значения и вычислим ∆W:

Ответ: ∆W = 1,5 мДж.

7. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с. по линейному закону от I0 = 0 до I = 6 А . Определить теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую и Q2-за вторую секунды, а также найти отношение

Дано: R = 20 Ом; Δt = 2 с; I0 = 0; I = 6 A.

Решение. Запишем закон Джоуля-Ленца в виде: dQ = I 2 Rdt. (1)

Здесь сила тока I может являться некоторой функцией времени. В нашем случае ток линейно зависит от времени: I = kt (2)

где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т.е. = 3 А/с.

С учетом (2) формула (1) примет вид: (3)

Для определения теплоты, выделившейся за промежуток времени , выражение (3) необходимо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, необходимо взять пределы интегрирования t1 = 0, t2 = 2 c. Следовательно:

При определении теплоты, выделившейся за вторую секунду, необходимо взять пределы интегрирования t1 = 1, t2 = 1 c. Следовательно:

Таким образом, за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду. Следовательно: .

Ответ: Q1 = 60 Дж, = 420 Дж, .

8. По проводу, согнутому в вид квадрата со стороной, а = 10см, течет ток силой I = 100A. Найти индукцию В магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата.

Дано: I = 100 А; а = 10 см = 0,1 м; μ0 = 4π∙10 -7 Гн/м.

Решение: Расположим квадратный контур в плоскости чертежа (см. рисунок). Согласно принципу суперпозиции индукция В магнитного поля от квадратного витка будет равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости контура ‹‹к нам››. Кроме того, из соображений cимметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы:

В1 = В2 = В3 = В4. Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством: В = 4В1. (2)

Магнитная индукция В1 поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой: (3)

Учитывая, что и (смотри рисунок), формулу (3) можно переписать в виде:

Подставив это выражение для В1 в формулу (2), найдем:

Заметив, что и (так как ), получим:

Подставим в полученную формулу числовые значения физических величин:

Ответ: В = 1,13∙10 -3 Tл.

8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 A, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией В = 1 Т. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ1 = 90 0 ; 2) φ2 = 3 0 . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано: I = 100 А, В = 1 Т, а = 10 см = 0,1 м, φ1 = 90 0 , φ2 = 3 0 .

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил: (1), где - магнитный момент контура; В- магнитная индукция; φ - угол между вектором , направленным по нормали к контуру, и вектором .

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0), а значит, φ = 0, т.е. вектора и совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешних сил. Так как момент сил зависит от угла поворота φ, то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме: . Подставив в это выражение М по формуле (1) и учитывая, что pm = IS = Ia 2 , где I – сила тока в контуре; S = a 2 – площадь контура, получим . Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте рамки с током на конечный угол φ: (2)

Вычислим работу при повороте рамки на угол φ 1= 90 0 :

Подставим в (3) числовые значения величин: = 1 Дж.

Вычислим работу при повороте рамки на угол φ2 = 3 0 . Поскольку угол φ2 мал, воспользуемся соотношением: sin φ ≈ φ и подставим его в выражение (2):

Подставим числовые значения величин в (4), предварительно выразив угол φ2 в радианах:

= 1,37·10 -3 Дж = 1,37 мДж.

Отметим, что задача могла быть решена и другим способом. Известно, что работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур: , где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения а Ф2–после перемещения. В случае φ1 = 90 0 Ф1 = BS, Ф2 = 0: , что совпадает с полученным выше результатом (смотри формулу (3)).

10. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H=10 3 А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Дано: U = 400 В; Н = 10 3 А/м; α = 90 0 ; m = 9.11∙10 -31 кг; е = 1,60∙10 -19 Кл; Гн/м.

Решение. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное (центростремительное) ускорение: :

(1), где е- заряд, v- скорость, m- масса электрона; В- индукция магнитного поля; R- радиус кривизны траектории; - угол между направлением вектора скорости и вектором . Из формулы (1) найдем: (2)

Входящий в равенство (2) импульс mv может быть выражен через кинетическую энергию электрона: (3)

Но кинетическая энергия электрона, проходящего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством:

Подставив это выражение в формулу (3), получим:

Индукция В может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме соотношением: , где - магнитная постоянная.

Подставив найденные выражения В и mv в формулу (2),найдем (4)

Подставим числовые значения в формулу (4) и произведем вычисления:

= 5,37∙10 -2 м = 5,37 см.

Для определения частоты обращения ν воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью движения электрона и радиусом траектории: (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим:

Подставим все величины, в системе СИ и произведем вычисления:

11. Резонанс в колебательном контуре, содержащем конденсатор емкостью С1 = 1 мкФ, наступает при частоте ν1 = 400 Гц. Когда же параллельно конденсатору С1 подключили еще один емкостью С2, резонансная частота становится равной ν2 = 100 Гц. Найти емкость конденсатора С2.

Дано: С1 = 1 мкФ = 10 -6 Ф; ν1 = 400 Гц; ν2 = 100 Гц.

Решение: Резонанс в колебательном контуре наступает, когда собственная частота колебаний становится равной частоте вынужденных колебаний, возбуждаемых внешним передатчиком. При этом амплитуда электромагнитных колебаний в контуре становится максимальной. Частота вынужденных колебаний, равная собственной частоте колебательного контура, называется резонансной частотой. Резонансная частота ν1 в колебательном контуре, содержащем только один конденсатор С1, определяется формулой Томсона: (1), где L – индуктивность катушки колебательного контура. Когда к конденсатору С1 подключили параллельно конденсатор С2, емкость батареи конденсаторов стала равна С1+С2. Резонансная частота ν2 при этом равна: (2)

Обе частоты ν1 и ν2, а также емкость С2 известны. Неизвестна индуктивность катушки L и искомая емкость С2. Следовательно, необходимо исключить из уравнений (1) и (2) индуктивность L, например, поделив левые и правые части этих уравнений соответственно друг на друга. После деления, сокращения и упрощения получаем: ,

Задача в общем, виде решена. Проведем вычисления:

12. Максимум энергии излучения абсолютно черного тела приходится на длину волны 450 нм. Определить температуру и энергетическую светимость тела.

Дано: λmaх = 450 нм = 4,5·10 -7 м; b = 2,89·10 -3 м·К; σ = 5,67·10 -8 Вт/(м 2 ·К 4 ).

Решение. Длина волны λmax, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела, по закону Вина равна: λmax = .

В соответствии с законом Стефана – Больцмана энергетическая светимость R абсолютно черного тела равна: R = σT 4 . В результате вычислений имеем:

Ответ: Т = 6422 К, R = 9,6∙10 7 Вт/м 2 .

13. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5 В.

Решение. Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

Красная граница фотоэффекта определяется из условия равенства энергии фотона работе выхода электронов АВ, т. е. . (2)

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов может быть определена через задерживающую разность потенциалов Uз: Екmax= eU3, (3)

где е – заряд электрона.

Подставляя выражения (2) и (3) в (1), получим: (4)

Из уравнения (4) найдем длину волны света:

Подставляя в (5) числовые значения, получим:

Ответ: λ = 0,196 мкм.

14. Определить максимальную скорость электрона, вырванного с поверхности металла γ – квантом с энергией 1,53 МэВ.

Дано: Е = 1,53 МэВ; Е0 = 0,511 МэВ.

Решение: По формуле Эйнштейна для фотоэффекта: Е = Авых+Ек.max.. Энергия кванта излучения расходуется на работу вырывания электрона Авых и сообщение ему кинетической энергии Ек.max.. Так как Авых<< Е, то электрон будет релятивистским и Е Ек, а кинетическая энергия будет выражаться формулой:

где Е0 – энергия покоя электрона.

Ответ: v = 2,9∙10 8 м/с.

15. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра

Дано: m = 1.00783 а.е.м.; mn = 1,00867 а.е.м.; m = 15,99492 а.е.м.;

Решение. Дефект массы Δm ядра определяется по формуле:

В таблицах чаще всего приводят массу атомов (изотопов), т.е. суммарную массу ядра вместе с электронами, то формулу (1) можно записать также в виде:

где ma-масса изотопа, дефект массы ядра которого необходимо определить.

Подставляя в (2) числовые данные, получим: Δm = 0,13708 а.е.м.

Энергия связи ядра Есв определяется по формуле:

Если дефект массы Δm выражать в а.е.м., а энергию связи Есв в МэВ, то формула (3) примет вид:

Подставляя в (4) числовые значения, получим: Есв = 931·0,13708 ≈ 128 (МэВ).

Удельная энергия связи εсв вычисляется по формуле:

Проведя вычисления, получим: εсв = = 8 (МэВ).

Ответ: Δm = 0,13708 а.е.м., Есв = 128 МэВ, εсв =8 МэВ.

16. Вычислить энергию ядерной реакции: Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение. Энергия ядерной реакции определяется по формуле:

где m1 и m2 - массы ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, ∑mi-сумма масс ядер и частиц, образовавшихся в результате реакции. Если массу частиц выражать в а.е.м., а энергию реакции в МэВ, то формула (1) примет вид:

При вычислении энергии ядерной реакции можно использовать массы атомов вместо масс их ядер. Из справочных данных находим:

Дефект массы реакции равен: Dm = (2 = - 0,01864 а.е.м.

Подставляя значение дефекта массы реакции в (2), получим:

Q = 931(-0,01864) ≈ -17,4 (МэВ).

Поскольку Q < 0, то для осуществления такой реакции необходима энергия.

Ответ: Q = -17,4 МэВ.