Если результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса тела относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

4. Элементы специальной теории относительности

4.1 . Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца

1. Принцип относительности Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно. 2. Принцип постоянства скорости света Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Рассмотрим две системы отсчета S и S’ (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система движется относительно со скоростью вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.

Тогда:

Здесь - скорость света в вакууме.

4.2. Следствия из преобразований Лоренца

Будем рассматривать системы и (рис. 8).

1. Относительность промежутков времени между событиями.

где - промежуток времени между событиями, происшедшими в системе отсчета ( отсчитывается по часам, находящимся в системе );

- промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе .

2. Изменение размеров движущихся тел.

где L’-длина стержня, расположенного вдоль оси и покоящегося в системе S’ (отсчитывается в системе отсчета S’);

L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .

3. Релятивистский закон сложения скоростей.

Пусть некоторое тело движется вдоль оси x` в системе отсчета со скоростью относительно последней. Найдем проекцию скорости этого тела в системе отсчета на ось x этой системы:

4.3. Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии

Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:

где m0 – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);

m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется;

u – скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.

где m – релятивистская масса.

Закон взаимодействия массы и энергии:

где m - релятивистская масса;

E – полная энергия материального объекта.

Кинетическая энергия объекта:

где - полная энергия;

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на Dm сопровождается изменением его энергии на DE:

Примеры решения задач

Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:

x = A+Bt+Ct 3 , где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с 3 . Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указан­ные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток вре­мени; 5) мгно­венные ускорения в указанные моменты времени.

x = A + Bt + Ct 3 A = 4 м B = 2 м/c C = 0,2 м/c 3 t1 = 2 c; t2 = 5 c x1, x2 <u>- ? u1, u2 - ? <a> a1, a2 - ? Решение 1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение движения подставить значения t1 и t2: x1 = (4+2×2+0,2×2 3 ) м = 9,6 м, x2 = (4+2×5+0,2×5 3 ) м = 39 м. 2. Средняя скорость , м/с = 9,8 м/с. 3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения: u1=(2+3×0,2×2 2 ) м/с = 4,4 м/c; u2=(2+3×0,2×5 2 ) м/с = 17 м/с.

4. Среднее ускорение ,

5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 2×3×Ct = 6Ct.

Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол a, ко­то­рый составляет вектор полного ускорения любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.

w0 = 0. N = 2 e = const Решение Разложив вектор точки М на тангенци­аль­ное и нормальное уско­ре­ния, видим, что иско­мый угол определяется соотно­шением tga=at/an. Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы: a - ?

at = eR, an = w 2 R, где R – радиус маховика,

так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами e и w;

Поскольку w0=0; j=2pN, то w 2 =2e×2pN=4pNe.

Подставим это значение в формулу, получим:

Задача 3 Две гири с массами m1 =2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, пе­ре­ки­ну­той через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити . Трением в блоке пренебречь.

m1 = 2 кг m2 = 1 кг Решение Воспользуемся для решения задачи основным законом динамики где – равнодействующая всех сил, действующих на тело. a, FН - ?

На тело1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести и

сила натяжения нити . Для первого тела имеем:

для второго тела:

Так как сила трения в блоке отсутствует,

Ускорения тел а1 и а2 равны по модулю и направлены в противоположные стороны

Получаем из (1) и (2) систему уравнений.

Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений

в проекциях на ось Х:

Решая эту систему относительно а и FН, получаем:

Ответ: a= 3,3 м/c 2 ; FH = 13,3 Н

Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м прило­жена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

МТР=4,9 Н×м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением e=100 рад/с 2 .

R = 0,2 м F = 98,1 Н MТР = 4,3 Н×м e = 100 рад / c 2 Решение Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения: или в скалярной форме , где - момент сил, приложенных к телу ( MF - момент силы F, Mтр – момент сил трения ); m - ?

- момент инерции диска.

Ответ: m = 3, 68 кг

В системе тел момент импульса системы относительно оси вращения будет оставаться постоянным, если момент внешних сил, действующих на систему, относительно оси вращения будет равен нулю.

2.8. Некоторые силы в механике

mg - сила тяжести, g - ускорение свободного падения. N - реакция опоры, направленная перпендикулярно плоскости соприкосновения взаимодействующих тел. Fтр = kN - сила трения, направлена противоположно скорости движения или силе, стремящейся сдвинуть тело, k - коэффициент трения. F = - kx - сила упругости, k - коэффициент жесткости пружины, х – дефор­ма­ция пружины. Fн - сила натяжения нити или подвеса, численно равная весу тела. P P = mg P =m(g+а) P = m(g-а) - вес тела, сила с которой тело действует на опору или подвес. - опора покоится. - опора движется вверх с ускорением а. - опора движется вниз с ускорением а.

3. Работа и механическая энергия

3.1. Работа силы и мощность при поступательном и вращательном движениях

У материальной точки (тела) в процессе силового взаимодействия с другими телами может изменяться состояние движения (координаты и скорость). В этом случае говорят, что над телом совершается работа. В механике принято говорить, что работа совершается силой.

Элементарной работой силы на малом перемещении называется величина, равная скалярному произведению силы на перемещение:

где - элементарный путь точки приложения силы за время dt, a- угол между векторами и , =F×cosa - тангенциальная составляющая силы, равная проекции силы на направление перемещения .

Если на систему действуют несколько сил, то результирующая работа равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.

Работа силы на конечном участке траектории или за конечный промежуток времени может быть вычислена следующим образом:

Если = const, то А= , если = const, то А= S.

При вращательном движении считается, что работа определяется моментом сил:

если М = const, то А=Мj.

Для характеристики быстроты совершения работы вводится мощность.

Мощностью называется скалярная величина N равная работе, совершаемой в единицу времени.

3.2. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях

Кинетической энергией тела называется функция механического состояния тела, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения).

При сложном движении твёрдого тела, его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения:

где uc - скорость поступательного движения тела (центра масс), Jc - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс, w - угловая скорость вращения тела.

Отметим свойства кинетической энергии.

Кинетическая энергия не отрицательна: ЕК³ 0.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему: .

Приращение кинетической энергии тела или системы равно работе всех сил, действующих на систему или на тело: .

3.3. Консервативные (потенциальные) силы

Консервативными (потенциальными) силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил - работа на замкнутой траектории тождественно равна нулю:

К консервативным силам относятся: сила тяжести, сила упругости и силы, определяющие фундаментальные взаимодействия.

3.4. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы - это функция механического состояния системы, зависящая от взаимного расположения всех тел системы и от их положения во внешнем потенциальном поле сил, убыль которой равна работе, которую совершают все консервативные силы (внутренние и внешние) при переходе системы из начального положения в конечное.

Из определения потенциальной энергии следует, что она может быть определена по консервативной силе, причём с точностью до произвольной постоянной, значение которой определяется выбором нулевого уровня потенциальной энергии.

Таким образом, потенциальная энергия системы в данном состоянии равна работе, совершаемой консервативной силой при переводе системы из данного состояния на нулевой уровень.

Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

Примеры потенциальной энергии:

1) - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h от нулевого уровня энергии в поле тяжести Земли;

2) - потенциальная энергия упругого деформированного тела, х - величина деформации тела (пружины).

3.5. Закон сохранения механической энергии

Полная механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих точек друг с другом и с внешними телами:

Приращение механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

Если действуют только консервативные силы или работа неконсервативных сил равна нулю, то dE = 0 и Е = const, т.е. справедлив закон сохранения механической энергии: при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется.