Модифицированный метод Эйлера с итерационным уточнением и переменным шагом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Предложен новый численный метод решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Трубников С. В.

Текст научной работы на тему «Модифицированный метод Эйлера с итерационным уточнением и переменным шагом»

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА С ИТЕРАЦИОННЫМ УТОЧНЕНИЕМ

И ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ

Предложен новый численный метод решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: численный метод, задача Коши, обыкновенное дифференциальное уравнение, переменный шаг.

Значительную часть прикладных математических задач составляют краевые задачи для дифференциальных уравнений. Поэтому одной из центральных проблем современной прикладной математики является разработка и исследование численных методов решения подобных краевых задач. Этой проблеме посвящена обширная литература (см., например, библиографию в [1], [2] и [3]). В статье [5] описан новый подход к построению численных методов решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации приближенного решения с помощью кусочно-полиномиальной интерполяции многочленами Эрмита, а также на принципе минимизации невязки. С помощью этого подхода был построен новый численный метод для решения задачи Коши, названный исправленным методом Эйлера с итерационным уточнением, который можно отнести к итерационно-разностным методам. В нем используется сетка с постоянным шагом. В данной статье описан новый численный метод с переменным шагом сетки и описана процедура автоматического выбора узлов сетки, обеспечивающих заданную точность. Этот метод также относится к итерационно-разностным методам.

1. Составная функциональная кинематическая кривая и ее свойства

Кинематические кривые введены и описаны в статье [4]. Функции, задающие составные кинематические кривые, представляют собой результат кусочно-многочленной интерполяции многочленами Эрмита 5 порядка с двумя трехкратными узлами. Уравнение составной кинематической кривой на плоскости хОу можно записать в виде:

г = г(г) = ^ Т5 (г - г +1)-Оу,_1 + ^ Т5 (г - г +1)-Q5-ji при г е [/-1,/], г = 1,2,* , т . (1)

Здесь т - заданное натуральное число, О j г = Qxj г -1 + Qyji' '] ( j = 0,1,2, г = 0,1, * , т ) -

заданные векторы, Т5 (г) - интерполяционные многочлены Эрмита 5 порядка [2], которые можно записать в виде:

Т05 () = 1 -10*3 +15*4 - бг5, Т5(г)=г -бг3 + 8*4 -3*5, Т25(г) = 1 г2 -2г3 + 2г4 -2г5,

Т35 (г ) = 2 г3 - г4 + 2 г5, Т45 (г ) = -4г3 + 7г4 - 3г5, Т55 (г ) = 10г3 - 15г4 + бг5. (2)

Если ввести обозначения компонент векторной функции

г(г) = Гх (г)- 1 + Гу (г)-] , (3)

то равенство (1) можно записать в виде:

ГХ(і) = XТ! (і -і +1)‘ °х/г-1 + XГ/(і -і + !)• °х5-іі при іє[і -1,і], і = ІД* ,т • (4)

гу (і) = XТ/ (і-*' +^ 6_УІ і-1 + XТ/ (і-/ +^ Оу5-і і при і є[/-1,/], і = 1,2,‘ , т • (5)

Одно из главных свойств кинематической кривой [4] состоит в том, что

Гх (і) = 6x0 і , _ 6x1 і, ё [Х2 ) _ 6х2 і, і = 0,1,‘ ,т ,

Введем новую кривую, задаваемую уравнением (3) и уравнениями

Гх (і ) = Хі-1 +(хі - Хі-1 У(і - і + 1) при і є[і -1> і] , і = 1,2

гу (г) = X Т](г - г + 1)-^М + ХТ7(г - г + 1)-Qy/ 5-ji при г е[ - ^ г], г = 1,2,к , т . (9)

х0 < Х1 < . Хт , (10)

а Qyrji-1 и Qylji - заданные постоянные.

Для функции, заданной формулой (9), будут справедливы условия, аналогичные условиям (7). Если считать, что i е [/' -1, /'], то

/\ йгу (і - 0) й2г (і -1)

(і)=Оуі0 і, і;---= <2уі 1 і, ----Т2-_ °уі2 і , і = 0,1,‘ ,т •

йі ” йі А если считать, что і є [і, і +1], то

йгу(і + 0) _ й 2Гу (і +1)

= буг2 і, і = 0,1,К ,т •

Отсюда видно, что функция у = Гу (і) и её производные определяются неоднозначно в точках і = 1,2,_, т -1

Из выражения (8) и условия (10) следует, что функция х = гх (і) является возрастающей и, следовательно, обратимой Обратная функция определяется элементарно

і = гх^(х) = (і-1)+——при х є[хі-1 ,хі], і = 1,2,* ,т • (13)

Поэтому уравнения (8), (9) неявно задают функцию

у(х) = гу (гх( 1)(х))_ X ТІ

Эта функция является однозначной во всех точках [х0 , хт ], кроме, вообще говоря, точек х