2.2.4. Статистика флуктуаций кинетической энергии молекулы газа во времени

Для ансамбля молекул газа установлено распределение молекул по энергии (2.7), имеющее вид:

где – безразмерная кинетическая энергия молекул.

Остановимся еще раз на смысле этого распределения:

Распределение определяет значение числа молекул газа, обладающих в интервале значениями энергии около . Можно приближенно считать, что все молекулы (из их числа ) в интервале обладают одной, одинаковой энергией .

В выражении (2.7) фактор времени отсутствует, что соответствует условию равновесности состояния газа – стационарности функции распределения.

В то же время, как уже многократно подчеркивалось, газ – это динамическая система: система движущихся молекул с их многочисленными столкновениями и чрезвычайно частыми скачками изменяющейся энергии каждой молекулы. Поэтому в выражении (2.7) величину следует понимать как среднюю (по времени) величину, поскольку в одном и том же интервале энергии в окрестности значения энергии число молекул не будет оставаться постоянным во времени. Но подчеркнем, что стационарность состояния газа заключается в том, что средние по ансамблю (!) значения динамических характеристик молекул: скорости, энергии, длины свободного пробега со временем не меняются. После упоминания динамических закономерностей, присущих ансамблю молекул газа, обратимся к важному вопросу динамики одной, отдельной молекулы в газе.

В предыдущем разделе была рассмотрена последовательность взаимодействия молекулы с другими молекулами: налеты данной молекулы на другие и налеты других молекул на данную, т.е. ситуации, когда данная молекула выступает то ударяющей, то ударяемой. Во всех случаях при соударениях у данной молекулы происходит изменение ее кинетической энергии. Была выделена и проанализирована такая последовательность соударений, которая приводила к приобретению данной молекулой энергии бóльшей (в том числе – и много бóльшей), чем средняя энергия – появление флуктуации энергии молекулы. Была отмечена важная роль таких флуктуаций энергии, которые делали молекулы газа активными – способными к осуществлению элементарных актов различных процессов.

Тепловая жизнь каждой молекулы газа состоит из продолжительных периодов сравнительно “спокойной” жизни: с кинетической энергией в районе средних значений энергии (т.е. последовательность соударений для молекулы складывается так, что происходят лишь небольшие скачки энергии в обе стороны) и моментов такого стечения обстоятельств, когда энергия резко возрастает.

Возникает вопрос о времени (среднем, разумеется) ожидания каждой такой “вспышки” флуктуации энергии молекулы, или о среднем промежутке времени между последовательными флуктуациями одной величины (т. е. о частоте таких флуктуаций или о периодичности флуктуирования). В тепловой жизни молекул газа можно обозначить естественный временной “шаг” – среднее время между последовательными соударениями молекулы с другими.

В разд. 2.1 было выведено выражение для среднего значения длины свободного пробега молекулы – т. е. длины пробега молекулы без ее “налета” на другие молекулы: , и среднее время этого свободного пробега , где – средняя скорость молекулы.

Была произведена оценка числа налетов других молекул на данную в единицу времени, из чего следовало, что за время среднего свободного пробега по летящей молекуле происходит в среднем примерно один налет (“боковой удар”) со стороны других молекул. То есть средний промежуток во времени между “боковыми ударами” также близок к времени среднего пробега. Таким образом, отмечая близость оценок промежутков времени между соударениями обоих типов (и когда данная молекула является ударяющей, и когда она является ударяемой), можно ввести средний временной “шаг” движения молекулы, в течение которого ее кинетическая энергия постоянна (между соударениями обоих типов), который обозначим . Можно отметить, что приближенно . Для воздуха

Отметим еще раз, что газ – это ансамбль из многих молекул, в котором в данный момент времени каждая молекула обладает своим значением кинетической энергии . Случайность этих значений и приводит к распределению молекул по энергии (2.6). Перенесем понятие ансамбля на тепловую жизнь отдельной молекулы в газе. Примем, что достаточно продолжительный отрезок времени тепловой жизни молекулы состоит из последовательности временных шагов . Тогда число таких шагов . Каждый шаг характеризуется своим значением кинетической энергии данной молекулы или . Поэтому отрезок времени тепловой жизни молекулы можем рассматривать как ансамбль из элементов или ансамбль из значений кинетической энергии молекулы. Каждое из этих значений энергии можно считать случайным – так же как значения энергии молекул в ансамбле молекул газа.

Отсюда следует возможность применения к ансамблю “шагов” того же выражения, которое применяется к ансамблю молекул (2.7):

Заменим дифференциалы на конечные малые приращения и , используем, что , и обозначим интересующее нас значение флуктуационной энергии через . Тогда получим:

Выражение (2.13) определяет число шагов во времени , когда молекула обладала значениями флуктуации энергии около , лежащими в интервале энергии .

Требуется оценить среднее время , за которое у молекулы хотя бы один раз появится энергия около , лежащая в интервале энергии . Т. е. назначаем условие в (2.13): = 1. Поскольку мы интересуемся большими флуктуациями энергии >> 1, то можем принять интервал , равным среднему значению энергии = . Тогда из (2.13) получаем:

Поскольку – это слабая функция (особенно по сравнению с экспонентой ) и при = 10 20; 0,3 0,2, а оценки и носят весьма приближенный характер, то вполне допустимо принять огрубление для предэкспоненты в (2.14) и оценку производить в форме:

Рисунки 2.10 и 2.11 показывают, что продолжительность самого флуктуационного состояния молекулы составляет:

Поэтому в силу экспоненциальной зависимости в (2.15) получаем, что

Таким образом, “вспышки” флуктуационной энергии молекулы газа являются достаточно “острыми” во времени по сравнению со средним интервалом между флуктуациями.

Такая картина следования флуктуаций энергии на отдельной молекуле газа показана схематически на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Две последовательные флуктуации энергии одинаковой величины на отдельной молекуле газа