Разные геометрические задачи на доказательство

Задача 1. В треугольнике АВС с тупым углом ВАС проведены высоты и . Докажите, что треугольники и подобны.

Чтобы доказать подобие, нам потребуется доказать равенство хотя бы двух углов треугольников и . Один видно сразу: очевидно, что угол равен углу как вертикальный. Осталось доказать равенство еще каких-нибудь двух углов этих треугольников. Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные, и имеют равные гипотенузы. Значит, если провести окружность диаметром BC, то она будет описанной и для треугольника и для треугольника . Тогда угол – вписанный и угол – также, и опираются они на одну дугу. Вот мы и доказали равенство двух углов в треугольниках и , то есть, они подобны, ч.т.д.

Задача 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Рассмотрим углы ADB и BDC. Их сумма равна , так как они смежные. Биссектриса угла ADB делит его на равные углы 1 и 2, а биссектриса угла BDC делит его в свою очередь на равные углы 3 и 4. Тогда сумма всех малых углов , а так как угол , а угол , то можно записать, что , или , или, иначе, , ч.т.д.

Задача 3. Докажите, что биссектрисы и внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и и секущей , параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Так как прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны. Биссектрисы e и d делят пополам каждая свой угол. Но так как равны сами накрест лежащие углы, то равны и их половины (на рисунке все равные углы обозначены дугой одного цвета). Но углы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими для прямых d и e при пересечении их секущей с, а следовательно, прямые e и d параллельны, ч.т.д.

Задача 4. Докажите, что прямые и , изображенные на рисунке, параллельны.

Рассмотрим рисунок. Из него видно, что угол вертикальным с углом , а значит, тоже равен . По той же причине угол равен . Тогда в треугольнике, образованном пересекающимися прямыми, нам известны два угла и мы можем определить третий – угол – из суммы углов треугольника. Тогда . Угол является соответственным с известным углом, равным , и, так как соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны.

Задача 5. Докажите, что диагональ четырехугольника меньше его полупериметра.

Рассмотрим треугольник ABC и запишем для него неравенство треугольника: . То же самое сделаем для треугольника ADC: . Теперь просто сложим два неравенства: . В правой части имеем не что иное, как периметр четырехугольника: , ну а теперь разделим наше неравенство пополам, и правую, и левую части: , ч.т.д.

Задача 6. Докажите, что два острых угла со взаимно перпендикулярными сторонами равны.

Сторона CD угла ACD перпендикулярна стороне OD угла AOD, сторона CA угла ACD перпендикулярна стороне AO угла AOD. Рассмотрим образовавшиеся треугольники ABC и OBD. Их углы CBA и DBO вертикальные, а значит, равны. Кроме того, оба треугольника прямоугольные, значит, они подобны по двум углам, а в подобных треугольниках равны все углы, значит, угол ACB равен углу BOD, ч.т.д.

Задача 7. Стороны тупого угла А соответственно перпендикулярны сторонам угла В. Докажите, что сумма углов А и В равна 180 градусам.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма его углов равна . Сумма углов треугольника ABD также равна . Тогда сумма всех углов четырехугольника ACBD равна . Два угла рассматриваемого четырехугольника прямые, их сумма . Тогда , ч.т.д.

Задача 8. В равностороннем треугольнике АВС точки M, N, K – середины сторон АВ, ВС и СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK – равносторонний.

Так как M и N – середины сторон AB и BC, то MN – средняя линия треугольника ABC, а значит, . Так как N и K – середины сторон BC и AC, то NK – средняя линия треугольника ABC, а значит, . Аналогично . Так как треугольник ABC равносторонний, то равны все его стороны, а следовательно, и половины сторон: , что, в свою очередь, означает, что треугольник MNK равносторонний, ч.т.д.

Задача 9. На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника AKD равна половине площади квадрата.

Площадь квадрата равна , так как его стороны равны. Площадь треугольника AKD равна произведению основания на высоту: . Высота треугольника равна , тогда , ч.т.д.

Задача 10. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Проведем доказательство от обратного. Предположим, что . Тогда треугольник ABH равнобедренный, и угол HBA равен углу BAH. В то же время треугольник HAC также равнобедренный, и угол HAC равен углу HCA. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна . Тогда и сумма углов BAH и HCA равна тоже , а это дано нам по условию. Следовательно, . Можно также поместить центр окружности в точку H и провести окружность радиусом HB. Она пройдет и через точку C. Тогда, поскольку угол BAC прямой, эта окружность должна пройти через точку A, так как угол BHC – развернутый и центральный, а угол, опирающийся на ту же дугу – прямой, и, следовательно, вписанный. Тогда AH – радиус окружности и .