Дискретная математика и математическая логика
Дискретная (или прерывная) математика представляет собой область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов. В отличие от дискретной математики классическая математика занимается преимущественно изучением свойств структур непрерывного характера. Деление математики на классическую и дискретную достаточно условно, поскольку, с одной стороны, происходит взаимопроникновение возникающих идей и методов, а с другой — средства дискретной математики используются для изучения непрерывных моделей и наоборот.
Бурное развитие дискретной математики обусловлено прогрессом компьютерной техники, необходимостью создания средств обработки и передачи информации, а также представления различных моделей на компьютерах, являющихся по своей природе конечными структурами.
Математическая логика как математическая дисциплина с современной точки зрения несомненно представляет собой раздел дискретной математики. С другой стороны, логика – древнейшая из наук, и история уготовала ей двоякую роль в науке и практике (приложениях). Важнейшая роль логики в науке и научном мышлении утвердилась в течение двух тысячелетий и в настоящее время общепризнанна. Наиболее фундаментально методы логики (и особенно – методы математической логики) проникли в математику и особенно – в основания математики. Исключительно велика роль логики при изучении математики и в особенности для тех, кто учит математике других. В XX веке выявилась колоссальная роль логики (в основном, её математической ветви) в практике. Этой практикой явилось конструирование и создание электронно-вычислительных машин (компьютеров) и программного обеспечения к ним.
Приоритетную роль в дисциплине «Дискретная математика и математическая логика» будет отдана математической логике.
Всё сказанное обуславливает следующие цели освоения раздела «Математическая логика» дисциплины «Дискретная математика и математическая логика» будущими специалистами (бакалаврами) в области педагогического образования:
– ознакомить с основными понятиями и методами математической логики, довести до сознания студентов тот факт, что это есть математическая дисциплина;
– показать студентам, что это есть наука о математическом мышлении, т.е. о мышлении в области математики, для чего продемонстрировать связь математической логики со всеми другими математическими дисциплинами, изучаемыми в вузе – с геометрией, алгеброй, дискретной математикой, математическим анализом, теорией вероятностей и др.; показать, что современная математика представляет собой совокупность аксиоматических теорий, построенных на строгих законах математической логики;
– показать роль логики и, в частности, математической логики при изучении математики и при обучении математике;
– продемонстрировать неразрывную связь методов математической логики с компьютерами и информатикой; а именно, показать, что эти методы широко используются в двух сферах, связанных с компьютерами и информатикой: при конструировании и создании самих компьютеров и при создании программного обеспечения к ним.
Цели освоения остальных разделов дисциплины «Дискретная математика и математическая логика» будущими специалистами (бакалаврами) в области педагогического образования следующие:
— сформировать представление о современной алгебре как об основном теоретическом фундаменте дискретной математики;
— сформировать представление о математических понятиях и методах, которые позволяют моделировать дискретные явления и дискретные процессы окружающего мира;
— сформировать представление о постановке задач в области дискретной математики и навыки описания дискретных объектов в прикладных задачах;
— заложить основы дискретного стиля математического мышления, оказывать влияние на формирование у студентов общематематической и методической культуры;
— создать теоретические предпосылки и фундаментальные основы для изучению ряда смежных дисциплин (информатика, теория алгоритмов, комбинаторные алгоритмы, генетические алгоритмы, программирование, алгоритмические языки, базы данных, базы знаний, экспертные системы, системы искусственного интеллекта и т.д.).
Дисциплина «Дискретная математика и математическая логика» относится к дисциплинам вариативной части (В3) профессионального цикла (Б3) и имеет тесные логические и содержательно-методические взаимосвязи с другими дисциплинами цикла. Дисциплина читается в 3-ем и 4-ом семестрах (2 курс).
На заре отечественной компьютеризации, в начале 80-ых годов прошлого века известный советский математик академик А.П.Ершов поставил задачу создания учебного плана подготовки системных программистов, во главу угла которого была бы поставлена фундаментальная математическая подготовка. Он писал по этому поводу: «Честно говоря, я ещё не знаю, как организовать такой курс. Ясно, что он должен базироваться на дискретном анализе и основаниях математики. Скажу несколько слов о втором компоненте. Основания математики – возможно, не то слово. Этот курс должен быть методологическим, раскрывать сущность математического метода. Такой курс представляется мне очень важным. Сейчас, вообще говоря, сущности математического метода не учат. Профессиональные математики до этого не доходят, а прикладные специалисты получают огромный багаж сведений по математике, зачастую не зная, как им пользоваться. Нам нужно довести систему законов обработки информации до той же степени стройности и заразительности, какой сейчас обладает курс математического анализа, читаемый в лучших университетах». [Ершов А.П. Избранные труды. – Новосибирск: «Наука», 1994. – 416 с. (стр. 293 – 294)].
В настоящее время очертания такой фундаментальной математической подготовки специалистов в области информатики, программирования и компьютерных наук прорисовались достаточно чётко. Фундаментальные разделы математики, имеющие наиболее яркую прикладную направленность на информатику, программирование и компьютеры, сосредоточены в курсах «Математическая логика», «Дискретная математика», «Теория алгоритмов».
Дисциплина «Дискретная математика и математическая логика» служит существенным звеном фундаментальной математической подготовки специалистов (бакалавров) в области информатики, программирования и компьютерных наук по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математическое образование»), предваряя их дальнейшую теоретическую подготовку по последующим профессиональным дисциплинам: информатике, теории алгоритмов, программированию, алгоритмическим языкам, использованию информационных технологий в обучении математике и т.д.
Кроме того, изучение математической логики на начальном этапе подготовки специалиста (бакалавра) будет способствовать значительному повышению уровня его логической культуры, научит аргументировано рассуждать и доказывать, что позволит ему более осознанно и эффективно осваивать все последующие математические дисциплины. Изучение же дискретной математики послужит также важным звеном в процессе формирования дискретного стиля математического мышления будущего специалиста (бакалавра).
Обучающийся должен знать
Обучающийся должен уметь
Основные понятия алгебры высказываний: высказывания; операции над ними; формулы алгебры высказываний; тавтологии; равносильность формул; логическое следование формул; нормальные формы для формул.
Составлять таблицы истинности формул; классифицировать формулы; выяснять, следует ли формула из данных методом от противного и методом резолюций; преобразовывать формулы равносильным образом для их упрощения; приводить формулы к СДН-формам и к СКН-формам.
Строение математических определений и теорем; прямые и обратные теоремы; логические методы доказательства математических теорем.
Выявлять и различать необходимые и достаточные условия; проверять рассуждения на правильность с точки зрения логики.
Основные понятия теории булевых функций: определение; булевы функции от одного и двух аргументов; число булевых функций и их основные свойства; выражения одних булевых функций через другие; полные системы булевых функций.
Составлять таблицы значений для булевых функций; преобразовывать тождественным образом выражения для булевых функций; выражать одни булевы функции через другие; проверять на полноту системы булевых функций.