10. В9. Функция y=f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y= f(x), которые параллельны прямой y=3x-5 или совпадают с ней.

Функция y=f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y= f(x), которые параллельны прямой y=3x-5 или совпадают с ней.

Решение:

Для наглядности нужно нарисовать указанную прямую y= 3x - 5. Найдем для этого две точки, через которые она проходит и проведем через них прямую.

Если х = 2, то у = 3*2 - 5 = 6-5 = 1,

Если х = 3, то у = 3*3 - 5 = 9-5 = 4.

То есть прямая проходит через точки (2;1) и (3;4), проведем через них прямую:

Теперь визуально определим, сколько может быть касательных к нарисованному графику, параллельных нарисованной прямой (очевидно, что сама она не является касательной, поэтому условие "совпадает с ней" нам не подходит).

И из рисунка видно, что таких прямых, параллельных данной и являющихся касательной, всего может быть три, а остальные прямые, параллельные данной, будут пересекать график функции, а не будут касаться.

Ответ: 3.

09. В9. На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 1 до 6 f(x)dx.

Задача.

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 1 до 6 f(x)dx.

Решение:

Так как искомый определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной функцией y = f(x), осью Ох и прямыми х = 1 и х = 6, то найдем эту площадь.

Нужная фигура (это заштрихованная часть на рисунке) - это трапеция с основаниями, равными 5-1 = 4 (сторона а) и 6-1 = 5 (сторона b) и высотой h = 3.

По формуле поиска площади трапеции S = ½ (а+b) * h найдем искомую площадь.

S = ½ (4+5) * 3 = 13,5 - это и есть искомый интеграл.

Ответ: 13,5.

08. В9. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой Х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке Х0.

Задача.

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой Х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке Х0.

Решение:

Мы должны знать, что производная функции f(x) в точке х0 равна коэффициенту K при х в уравнении прямой, касательной к f(x) в точке х0. То есть, если нам надо найти f´(x0), то мы просто найдем K в уравнении прямой y = Kx + b.

Из графика видно, что наша касательная проходит через точки (-2; 0) и (0; -2). Подставим их в уравнение прямой: х1 = -2, у1 = 0 и х2 = 0, у2 = -2 и получим 2 уравнения:

Это система двух уравнений, найдем из нее K.

Из (2) b = -2 подставим в (1):

-1 - искомое значение f´(x 0 ).

Ответ: -1

07. В9. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке Х0. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке Х0.

Задача.

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке Х0. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке Х0.

Решение:

Нужно найти производную функции y= 2f(x)-1 в точке Х 0 .

То есть у′ = ( 2f(x)-1)′ = 2f′(х) - 0 = 2f′(x) в точке Х 0.

Вспомним, что f′ (х 0) равно коэффициенту при х в уравнении касательной у = 1,5х + 3,5 к графику функции f(x) в точке х 0.

Значит f( x 0) = 1,5. Подставим это значение в у′:

у′ = 2f ′( x 0) = 2 * 1,5 = 3 - это и есть искомое значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке Х 0 .

Ответ: 3.

06. В9. Функция y=f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек х1, х2, . х7 те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Задача.

Функция y=f(x) определена на интервале (-5; 6). На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек х1, х2, . х7 те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Решение:

Принцип в решении этой задачи такой: есть три возможных поведения функции на этом интервале:

1) когда функция возрастает (там производная больше нуля)

2) когда функция убывает (там производная меньше нуля)

3) когда функция не возрастает и не убывает (там производная либо равна нулю, либо не существует)

Нас интересует третий вариант.

Производная равна нулю где функция гладкая и не существует в точках излома. Рассмотрим все эти точки.

х1 - функция возрастает, значит производная f′(x) >0

х2 - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f ′(x) = 0

х3 - функция принимает максимум, но в этой точке излом, значит производная f ′(x) не существует

х4 - функция принимает максимум, но в этой точке излом, значит производная f ′(x) не существует

х5 - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f ′(x) = 0

х6 - функция возрастает, значит производная f ′(x) >0

х7 - функция принимает минимум и гладкая, значит производная f ′(x) = 0

Видим, что f ′(x) = 0 в точках х2, х5 и х7, итого 3 точки.