Аппроксимация аналитически заданных функций Текст научной статьи по специальности «Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Гордеев Н.И., Ефимов С.Н., Ведерникова К.В.
В работе представлена методика аппроксимации тригонометрической функции 𝑦(𝑥) = cos на отрезке [-𝜋2,𝜋2] алгебраическим полиномом седьмой степени относительно переменной 𝑥.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Гордеев Н.И., Ефимов С.Н., Ведерникова К.В.
Текст научной работы на тему «Аппроксимация аналитически заданных функций»
международный научный журнал «инновационная наука» №5/2015 issn 2410-6070
к. т. н., доцент кафедры дискретной математики и информатики Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова
студент 5 курса факультета прикладной математики, физики и информационных технологий
Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова
К. В. Ведерникова
студентка 5 курса факультета прикладной математики, физики и информационных технологий
Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова
Г. Чебоксары, Российская Федерация
АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
В работе представлена методика аппроксимации тригонометрической функции у(х) = cosx на отрезке [— алгебраическим полиномом седьмой степени относительно переменной х.
Аппроксимация функции, алгебраический полином, расстояние нулевого порядка между двумя кривыми
В предлагаемой работе рассматривается метод аппроксимации функций, отличный от традиционных методов [1].
Продемонстрируем этот метод аппроксимации по отношению к функции (рис. 1)
заданной в прямоугольной системе координат на плоскости.
Для этого вначале найдем от (1) производные до третьего порядка включительно по х:
Будем строить аппроксимацию функции (1), например, на отрезке [— ^, Далее вычислим значения функций (1) - (4) при х = —| и х = | у(—1) = 0 (5), у'(— |) = 1 (6), у" (— §) = 0 (7),
|) = —1 (8), у(|) = 0 (9), у'(|) = —1 (10), У"(|) = 0 (11), У'"(|) = 1 (12). Полученные равенства (5) - (12) ,будем считать граничными условиями. Значит, имеем восемь граничных условий. Исходя из этих соображений, будем аппроксимировать функцию (1) на отрезке [— алгебраическим полиномом (многочленом) седьмой степени относительно переменной х:
у(х) = а7х7 + а6х6 + а5х5 + а4х4 + а3х3 + а2х2 + ахх + а0; (13)
здесь а7, Й6, &5, я4, «2, а1, ао - коэффициенты полинома.
Далее найдем от у(х) (13) производные до третьего порядка включительно по х:
у'(х) = 7а7х6 + ба6х5 + 5а5х4 + 4а4х3 + 3а3х2 + 2а2х + а1, (14)
у''(х) = 42а7х5 + 30а6х4 + 20а5х3 + 12а4х2 + ба3х + 2а2, (15)
у'''(х) = 210а7х4 + 120а6х3 + б0а5х2 + 24а4х + ба3. (16)
Используя граничные условия (5) - (12) по отношению к функциям (13) - (16), получаем следующую систему из восьми линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов а7, а6, а4, 03 а3, а2, а1, «о:
международный научный журнал «инновационная наука»
+ 2^6а6 — 4тсьа5 + 8^4а4 — 16тс3а3 + 32^2а2 — 64^% + 128а0 = 0, тс7а7 + 2я6а6 + 4тс5а5 + 8я4а4 + 16тс3а3 + 32я2а2 + 64^% + 128а0 = 0, 7я6а7 — 12я5а6 + 20тс4а5 — 32я3а4 + 48тс2а3 — 64тса2 + 64% = 64, 7я6а7 + 12я5а6 + 20тс4а5 + 32я3а4 + 48тс2а3 + 64тса2 + 64% = —64, ■21я5а7 + 30тс4а6 — 40тс3а5 + 48тс2а4 — 48яа3 + 32а2 = 0, (17)
21я5а7 + 30^4а6 + 40тс3а5 + 48тс2а4 + 48яа3 + 32а2 = 0, 105тс4а7 — 120тс3а6 + 120тс2а5 — 96тса4 + 48а3 = —8, 105тс4а7 + 120тс3а6 + 120тс2а5 + 96яа4 + 48а3 = 8, Исследуя и решая систему уравнений (17), устанавливаем, что она имеет единственное решение [2]: л:2 -12
32ге 1 у " 0 384
Подставляя значения коэффициентов (18) - (25) в (13) и преобразуя, получаем аппроксимацию
функции у(х) = cosx на отрезке [— в виде алгебраического полинома (рис. 2)
[64(я2 - 6)х6 + 48я2(20 - тс2)х4 +
+ 12я4(я2 - 60)х2 + я6(132 - -я2)].
/ 0.2 -1 ■ 1 ' 1 ' 1 ' ■ 1 ■ i ■ i ■ 1
/ 0.1 -I * 1 ' 1 ' 1 ' ' 1 ' 1 | 1 ' 1
Рис. 1. График у(х) Рис. 2. График у(х)
Заметим, что у(х) (26) является четной функцией на отрезке [— . Найдем от у(х) (26) производные первого и второго порядков по х:
у'(х) = [16(я2 — 6)х5 + 8я2(20 — я2)х3 + я4(я2 — 60)х], у"(х) = [80(я2 — 6)х4 + 24я2(20 — я2)х2 + я4(я2 — 60)]. Исследование функции у (х) (26) методами дифференциального исчисления показывает, что она имеет
в стационарной точке х = 0 локальный максимум
Ута* = У(0) (132 — я2),
так как согласно второму достаточному условию экстремума функции
Производим количественную оценку степени близости у(х) (1) и у(х) (26) (как кривых) при помощи расстояния нулевого порядка:
<Ыу(*),у(*)] = тахл|у(х) — у(*)1 = 0.000823 . < 8,
международный научный журнал «инновационная наука» №5/2015 issn 2410-6070
Оценка (31) показывает, что полученный алгебраический полином у(х) (26) обладает достаточно
высокой точностью на отрезке I — —,—I.
Основные идеи предложенного в данной работе метода аппроксимации могут быть реализованы по отношению к любым элементарным функциям, заданным аналитически. Список использованной литературы:
1. Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие/ В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. - М.: Высш. шк., 2008. - 480с.
2. Дьяконов В. Maple 7: учебный курс/В. Дьяконов.- СПб.: Питер, 2002. - 672с.
© Н. И. Гордеев, С. Н. Ефимов, К. В. Ведерникова, 2015
Ст. преподаватель, кафедра физики Энергетический институт Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова Г. Белгород, Российская Федерация
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ВЕЩЕСТВ В СВЧ ПОЛЕ
Предложен метод определения диэлектрической проницаемости и тангенса угла диэлектрических потерь материалов. Исследование проводилось путем измерения входной проводимости волноводной линии, частично заполненной веществом, в режимах короткого замыкания и холостого хода.
Диэлектрическая проницаемость, тангенс угла диэлектрических потерь, режим холостого хода,
режим короткого замыкания.
Для обеспечения эффективного взаимодействия поля с веществом необходимо иметь экспериментальные данные об электрических параметрах диэлектрических веществ, таких как диэлектрическая проницаемость и тангенс угла диэлектрических потерь(в,с) [1, с. 69].
Рассмотрим метод измерения е и tg 5 путем измерения активной и реактивной составляющих входного сопротивления волноводной нагрузки измерительной линии, представляющей собой отрезок волновода, заполняемый исследуемым диэлектрическим материалом. На одном из этапов измерения отрезок волновода короткозамкнут. Экспериментально определяются активная и реактивная составляющие входного сопротивления. Затем короткое замыкание волновода смещается на Хв/4 от исследуемого образца, заполняющего волновод, чем обеспечивается режим холостого хода для отрезка волновода, используемого в качестве нагрузки измерительной линии. Проводятся измерения активной и реактивной составляющих входного сопротивления в этом режиме.
Если принять за основу известные соотношения для входного сопротивления линии передачи с потерями в режимах короткого замыкания и холостого хода.