И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Электрические цепи

1 И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Содержание Электрические цепи 1 Всероссийская олимпиада школьников по физике Московская физическая олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» «Росатом» «Курчатов» Всероссийская олимпиада школьников по физике Задача 1. (Всеросс., 2015, I этап, 9 11 ) Найдите показания идеальных амперметров А 1 и А 2 в электрической цепи, схема которой приведена на рисунке. Напряжение идеального источника U = 11 В, сопротивление R = 1 ком. I1 = 5 ма, I2 = 3 ма Задача 2. (Всеросс., 2017, I этап, 9 ) Участок цепи, схема которого приведена на рисунке, включает в себя резисторы с сопротивлениями R и 2R. Амперметр А 1 показывает силу тока I 1 = 0,2 ма. Найдите показания амперметра А 2. Сопротивлением амперметров и соединительных проводов можно пренебречь. 0,3 ма Задача 3. (Всеросс., 2016, I этап, 9 ) На рисунке изображена схема электрической цепи, состоящей из омметра, резистора и реостата. Сопротивление резистора R 1 = 5 Ом, а полное сопротивление реостата равно R 0 = 20 Ом. Движок реостата расположен точно посередине. Найдите, что при этом показывает омметр. R = R 0(R0+2R1) 4(R0+R1) Задача 4. (Всеросс., 2016, I этап, 10 ) На рисунке изображена схема электрической цепи, состоящей из омметра, резистора и реостата. Сопротивление резистора R 1 = 5 Ом, а полное сопротивление реостата равно R 0 = 20 Ом. Положение движка реостата подбирают так, чтобы показания омметра были максимальны. Найдите, что при этом показывает омметр. R = R 0+R1 = 6,25 Ом 4 1

2 Задача 5. (Всеросс., 2017, I этап, 10 ) Идеальный амперметр в цепи, схема которой изображена на рисунке, показывает силу тока I = 9 ма. Определите сопротивление резистора R, если напряжение идеального источника U = 6 В. R = 9U 10I = 600 Ом Задача 6. (Всеросс., 2016, I этап, 10 ) Гальванометр имеет предел шкалы 200 мка и внутреннее сопротивление 80 Ом. С помощью шунта предполагается измерять этим гальванометром токи до 1 ма. Шунт хотят изготовить из нихромовой проволоки диаметром 0,4 мм. Отрезок проволоки какой длины нужно для этого взять? Удельное сопротивление нихрома ρ = 1,2 Ом мм 2 /м. 2,1 м Задача 7. (Всеросс., 2016, II этап, 9 ) На рисунке изображена схема электрической цепи, состоящей из источника постоянного напряжения U 0, резисторов с одинаковым сопротивлением R, идеального вольтметра и идеального амперметра. Показания вольтметра U V = 16 В, амперметра I A = 24 ма. Определите напряжение источника U 0 и сопротивление R резисторов. Сопротивление источника считайте равным нулю. U0 = 24 В, R = 1 ком Задача 8. (Всеросс., 2016, II этап, 10 ) На рисунке изображена схема электрической цепи, состоящей из источника постоянного напряжения U 0, резисторов с одинаковым сопротивлением R, идеального вольтметра и идеального амперметра. Показания вольтметра U V = 3 В, амперметра I A = 24 ма. Определите напряжение источника U 0 и сопротивление R резисторов. Сопротивление источника считать равным нулю. U0 = 5 В, R = 250 Ом Задача 9. (Всеросс., 2010, регион, 9 ) В электрической цепи (см. рисунок) сила тока, проходящего через резистор R 3, равна 1 ма. Сопротивления резисторов R 1 = 1 ком, R 3 = 3 ком. Перерисуйте рисунок в свою тетрадь и укажите на нём направления токов, идущих через резисторы. Чему равно напряжение U батарейки? На сколько миллиампер отличаются показания амперметров A 1 и A 2? Амперметры считайте идеальными. U = 3 В; на 2 ма 2

3 Задача 10. (Всеросс., 2016, регион, 9 ) Куб собран из одинаковых резисторов сопротивлением R. Два резистора заменили на идеальные перемычки, как указано на рисунке. 1) Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Какие резисторы из оставшихся можно убрать, чтобы это не изменило общего сопротивления системы? 3) Вычислите силу тока в проводе, подсоединённом к узлу A (или B), если известно, что через большинство резисторов в цепи течет ток I = 2 А. 4) Вычислите силу тока, текущего через идеальную перемычку AA. 1) R0 = R/2; 2) KC и ML; 3) IA = 4I = 8 A; 4) IAA = 2I = 4 A Задача 11. (Всеросс., 2011, регион, 9 ) У экспериментатора Глюка и теоретика Бага было пять идеальных амперметров и пять идеальных вольтметров. Они соединили последовательно амперметры и вольтметры, а затем подключили к ним резисторы сопротивлениями R 1 = 1 ком, R 2 = 2 ком, R 3 = 3 ком, R 4 = 4 ком, R 5 = 5 ком, R 6 = 6 ком. В результате получились электрические цепи, изображённые на рисунках, которые подключили к источнику постоянного напряжения U 0 = 12 В. 1) Определите показания вольтметров V 1, V 2 и амперметров A 1, A 2, A 3 в схеме Глюка. В какую сторону отклонятся стрелки приборов (рисунок справа), если при подключении их клемм, помеченных символом (+) к положительному выводу батареи, а клемм, помеченных символом ( ), к отрицательному выводу батареи, стрелка отклоняется вправо? 2) Определите показания вольтметров V 3, V 4, V 5 и амперметров A 4 и A 5 в схеме Бага. В какую сторону отклонятся стрелки в этом случае? 1) I1 = I3 = +6 ма, I2 = 3 ма, U1 = +3 В, U2 = +9 В; 2) I4 = I5 = +0,8 ма, U3 = +7,2 В, U4 = 4 В, U5 = +8,8 В 3

4 Задача 12. (Всеросс., 2013, регион, 9 ) Электрическая цепь (см. рисунок) состоит из двух одинаковых вольтметров и двух амперметров. Их показания: U 1 = 10,0 В, U 2 = 10,5 В, I 1 = 50 ма, I 2 = 70 ма соответственно. Определите сопротивление резистора R. (Получите для R общую алгебраическую формулу.) R = U1U2 U2I1 U1(I2 I1) = 323 Ом Задача 13. (Всеросс., 2015, регион, 9 ) Из четырёх одинаковых амперметров собрали электрическую цепь (см. рисунок), которую подключили к источнику с небольшим напряжением. Определите силу тока, текущего через перемычку АВ (сопротивление перемычки и соединительных проводов много меньше сопротивления амперметра), если сумма показаний всех амперметров I 0 = 49 ма. 28 ма Задача 14. (Всеросс., 2013, регион, 10 ) Электрическая цепь (см. рисунок) состоит из батарейки, шести резисторов, сопротивления которых R 1 = 1 ком, R 2 = 2 ком, R 3 = 3 ком, R 4 = 4 ком, и трёх одинаковых амперметров, внутреннее сопротивление r которых мало (r R 1 ). Вычислите показания амперметров, если напряжение батарейки U = 3,3 B. I1 = 0,1 ма, I2 = 0,2 ма, I3 = 0,3 ма 4

5 Задача 15. (Всеросс., 2011, регион, 10 ) Четыре резистора сопротивлениями R 1 = 3 Ом, R 2 = 4 Ом, R 3 = 7 Ом и R 4 = 6 Ом соединены с батареей (рисунок слева), напряжение на которой U 01 = 9,1 В, а её внутренним сопротивлением можно пренебречь. 1) Между резисторами подключён идеальный вольтметр. Найдите его показания. В какую сторону отклонится стрелка вольтметра (рисунок в центре)? Известно, что при подключении клеммы вольтметра, помеченной символом (+), к положительному выводу батареи, а клеммы вольтметра, помеченной символом ( ), к отрицательному выводу батареи стрелка отклоняется вправо. 2) Через какое-то время батарея частично разрядилась, и напряжение на её выводах уменьшилось до U 02 = 9,0 В. Вместо вольтметра в цепь включили амперметр (рисунок справа), сопротивление которого пренебрежимо мало. Найдите показания амперметра. В какую сторону отклонится стрелка амперметра, если при протекании через него тока от клеммы, помеченной символом (+) к клемме, помеченной символом ( ), стрелка отклоняется вправо? 1) +1 В; 2) +0,2 А Задача 16. (Всеросс., 2015, регион, 10 ) Из сплава с линейно изменяющимся от расстояния удельным сопротивлением изготовлены два проводника с вдвое отличающимся сечением. Удельное сопротивление с одной стороны каждого из проводников равно ρ 1, а с другой ρ 2. Их противоположными сторонами соединили параллельно и подключили к идеальному источнику с напряжением U, а к центрам цилиндров подключили идеальный вольтметр (см. рисунок). Найдите показание V вольтметра. V = 1 2 U ρ 1 ρ2 ρ1+ρ2 5

6 Задача 17. (Всеросс., 2016, регион, 10 ) Куб собран из одинаковых резисторов сопротивлением R. Три резистора заменили на идеальные перемычки, как указано на рисунке. 1) Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Какие резисторы из оставшихся можно убрать так, что это не изменит общего сопротивления системы? 3) Вычислите силу тока в проводе, подсоединённом к узлу A (или B), если известно, что через большинство резисторов в цепи течет ток I = 2 А. 4) Вычислите силу тока, текущего через идеальную перемычку AA. 1) R0 = 2R/5; 2) KC и CL; 3) IA = 5I = 10 A; 4) IAA = 3I = 6 A Задача 18. (Всеросс., 2016, регион, 11 ) Куб собран из одинаковых резисторов, имеющих сопротивления R. Четыре резистора заменены на идеальные перемычки, как указано на рисунке. 1) Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Через какие резисторы сила текущего тока максимальна, а через какие минимальна? Найдите эти значения силы тока, если сила тока, входящего в узел A, равна I 0 = 1,2 А. 3) Какова сила тока, текущего через идеальную перемычку AA? 1) R0 = 5R/12; 2) Imin = IC L = 0,1 A, Imax = I A B = 0,5 A; 3) I AA = 0,7 A Задача 19. (Всеросс., 2016, финал, 9 ) Электрическая цепь в форме тетраэдра содержит четыре одинаковых резистора, идеальный источник постоянного напряжения и идеальный амперметр, который показывает силу тока I = 2 А (рисунок а). Если заменить амперметр идеальным вольтметром, он покажет напряжение U = 12 В (рисунок б ). Определите напряжение U 0 источника и сопротивление R одного резистора. U0 = 15 В, R = 10 Ом 6

7 Задача 20. (Всеросс., 2013, финал, 9 ) Экспериментатор Глюк проводит опыты с электрической цепью, схема которой изображена на рисунке слева. Цепь состоит из источника неизвестного напряжения U 0, резистора R 3 = 1 МОм, резисторов R 1 и R 2 с неизвестными сопротивлениями, двух идеальных амперметров и реостата 1 2 проводника постоянного сечения, к которому подсоединён ползунок 3. Длина реостата составляет L = 1 м, а его сопротивление r = 1 ком. Меняя положение ползунка реостата, Глюк построил график зависимости силы тока I A через амперметр A 1 от длины x участка 1 3 реостата (рисунок справа). 1) Найдите отношение сопротивлений R 1 : R 2. 2) Изобразите график приближённой зависимости силы тока I 0 через амперметр A 2 от длины x участка 1 3 реостата. 3) Найдите сопротивления резисторов R 1, R 2 и напряжение источника U 0. Примечание. Все значения можно вычислять с погрешностью не более 0,1%. 1) 1 : 4; 2) горизонтальная прямая; 3) 200 Ом, 800 Ом, 3,6 В 7

8 2 Московская физическая олимпиада Задача 21. (МФО, 2014, 9 11 ) Школьник Вася проводит опыты с амперметром и вольтметром. Собрав электрическую цепь, состоящую из последовательно соединённых идеальной батарейки, резистора и амперметра, Вася обнаружил, что показания амперметра составляют 4 ма. Подсоединив параллельно батарейке вольтметр, Вася записал его показания (4,5 В), заметив, что показания амперметра при этом не изменились. Когда Вася подсоединил вольтметр параллельно резистору, его показания составили 4,4 В, а амперметр стал показывать 5 ма. A) Укажите напряжение батарейки. Ответ представьте в вольтах и округлите до десятых. B) Чему равно сопротивление амперметра? Ответ представьте в омах и округлите до целых. C) Чему равно сопротивление резистора? Ответ представьте в омах и округлите до целых. D) Чему равно сопротивление вольтметра? Ответ представьте в килоомах и округлите до десятых. A) 4,5; B) 20; C) 1105; D) 4,3 Задача 22. (МФО, 2016, 9 10 ) Вася нашел в ящике своего папы-физика четыре резистора сопротивлением 1 Ом каждый, один резистор сопротивлением 4 Ом, амперметр, батарейку с напряжением U = 4,5 В и провода. С использованием этих элементов Вася собрал цепь, схема которой изображена на рисунке (такая схема называется мостовой). Какой из резисторов нужно отключить Васе для того, чтобы показания амперметра изменились сильнее всего? Вася знает расположение резистора с сопротивлением 4 Ом, но пока вы не расскажете, что ему надо делать, он Вам не покажет, где располагается этот резистор. Рассмотрите два случая: А) если резистор сопротивлением 4 Ом включен в диагональ моста (то есть между точками 2 и 3); и Б) если этот резистор включен НЕ в диагональ моста. Для каждого случая дайте ответ на вопрос задачи. Для первого случая дополнительно рассчитайте чему равно изменение показаний амперметра. Батарейку можно считать идеальным источником напряжения, амперметр также считайте идеальным. А) Любой резистор 1 Ом, I = 2 А; Б) Резистор 1 Ом, подключённый к тому же полюсу, что и 4 Ом Задача 23. (МФО, 2013, 9 ) Школьница Ирина проводила опыты с электрической цепью, схема которой изображена на рисунке. Когда Ирина подключила выводы А и В цепи к батарейке и замкнула ключ К, она заметила, что амперметр А1 показывает значение силы тока I 1 = 1 ма, а амперметр А2 значение I 2 = 3 ма. Какими будут показания амперметров, когда Ирина разомкнёт ключ? Приборы считайте идеальными. I 1 = 0, I 2 = I 2 I1 = 2 ма 8

9 Задача 24. (МФО, 2014, 9 ) Два одинаковых вольтметра соединили параллельно, третий вольтметр подключили к этой комбинации последовательно, и к концам получившейся цепи присоединили идеальную батарейку. При этом вольтметры показывают 4 В, 4 В и 5 В. Какое напряжение у батарейки? Могут ли быть одинаковыми все три вольтметра? Что покажут эти же приборы, если их все соединить последовательно и подключить к той же батарейке? Показания приборов считайте точными. U = 9 В; не могут; вольтметры покажут 3,43 В, 3,43 В и 2,14 В Задача 25. (МФО, 2013, 9 ) Система, изображённая на рисунке, состоит из резисторов двух типов, с сопротивлениями R = 2r = 200 Ом и r = 100 Ом, источника постоянного напряжения U = 9 В и шести перемычек (проводов, сопротивлением которых можно пренебречь). Найдите силы токов через все резисторы, перемычки и источник напряжения. I12 = 25 ма; I23 = 40 ма; I34 = 45 ма; I45 = 50 ма; I56 = 20 ма; I67 = 90 ма; I78 = 25 ма; I89 = 40 ма; I52 = 25 ма; I58 = 15 ма; I36 = 85 ма; I69 = 195 ма; I47 = 115 ма; I14 = 210 ма; I91 = 235 ма Задача 26. (МФО, 2016, 9 ) Алиса и Василиса играют в игру «Постоянный ток». Они соединили последовательно два реостата и идеальный амперметр и подключили полученную цепь к источнику напряжения. Амперметр показал ток I 0 = 100 ма. Школьницы «ходят» по очереди. Одна двигает ползунок своего реостата, и показания амперметра меняются. Другая должна тоже подвинуть ползунок своего реостата, как можно быстрее вернув ток к прежнему значению. После этого «ход» переходит к ней. Реостаты у девушек разные, но на каждом из них ползунок перемещается прямолинейно и в начале игры находится в среднем положении. У Алисы расстояние между крайними возможными положениями ползунка равно L A = 36 см, а у Василисы L B = 40 см. 1) Первой «ходит» Алиса. Она сдвинула свой ползунок на 4 см вправо, и амперметр стал показывать ток I 1 = 90 ма. Василиса сдвинула свой ползунок на 5 см влево, и ток вернулся к прежнему значению. Теперь «ходит» Василиса. Она двигает ползунок на 6 см влево. На сколько и в каком направлении должна сдвинуть ползунок Алиса, отвечая на «ход» Василисы? 2) Может ли в течение игры возникнуть ситуация, когда Алиса не сможет ответить на «ход» Василисы? 3) Может ли в течение игры возникнуть ситуация, когда Василиса не сможет ответить на «ход» Алисы? 4) Чему равно напряжение источника, если его внутреннее сопротивление r = 4 Ом? 1) Вправо на 4,8 см; 2) нет; 3) да; 4) 7,2 В 9

10 Задача 27. (МФО, 2016, 10 ) Участок AD электрической цепи, схема которого показана на рисунке, состоит из четырёх постоянных резисторов с сопротивлениями R 1 = 20 Ом, R 2 = 40 Ом, R 3 = 80 Ом, R 4 = 25 Ом и одного переменного резистора R, сопротивление которого может изменяться от нуля до R max = 10 ком. Сила тока, текущего через участок AD, поддерживается постоянной и равной I = 1,2 А. 1) При каких значениях сопротивления переменного резистора ток через резистор R 2 будет течь в направлении от точки B к точке C, а при каких в обратном направлении? 2) При каком значении сопротивления переменного резистора напряжение на резисторе R 2 будет максимальным, и чему равно это напряжение? 1) 0 < R < R 1R3 R4 (C B), R 1R3 R4 < R < Rmax (B C); 2) Umax 10,8 В при R = 0 Задача 28. (МФО, 2015, 11 ) Школьник Станислав проводит опыты с электрической цепью, состоящей из трёх одинаковых резисторов и батарейки. Подключив вольтметр к клеммам A и B, Станислав записал показания прибора U AB = 4 В. Станислав был уверен, что показание вольтметра при подключении к клеммам A и C составит 8 В, а при подключении к клеммам A и D будет равно 12 В. Действительно, одно из показаний прибора совпало с предсказаниями Станислава: U AD = 12 В. Однако второе показание оказалось неожиданным: U AC = 7 В. Как мог рассуждать Станислав? Почему одно из показаний прибора было предсказано неправильно? Какую информацию о характеристиках приборов можно получить на основе проведённых измерений? Считайте, что сила тока через вольтметр пропорциональна напряжению на нём. Станислав считал батарейку и вольтметр идеальными; E = 28 В; r = RV = RAB Задача 29. (МФО, 2016, 10 ) Из идеального источника напряжения и четырёх резисторов собрана цепь, схема которой показана на рисунке. Когда между клеммами A и B подключили идеальный вольтметр, он показал напряжение U = 4 В. Когда вместо вольтметра подключили идеальный амперметр, его показания составили I = 30 ма. Затем вместо амперметра между клеммами A и B подключили ещё один резистор сопротивлением R. Найдите силу тока через этот резистор. IR 17 ма 10

11 Задача 30. (МФО, 2015, 9 11 ) Школьник Ярослав решил сконструировать такую электрическую цепь из изображённых на рисунке четырёх лампочек, двух ключей и проводов, чтобы выполнялись следующие требования. 1. При подсоединении цепи к батарейке при любом положении ключей должны гореть все четыре лампочки. 2. При переключении любого из ключей яркость хотя бы одной лампочки должна обязательно измениться. 3. При любом положении ключей одна лампочка должна обязательно гореть в полный накал (напряжение на ней должно быть равно напряжению на батарейке). 4. При любом положении ключей три лампочки должны обязательно гореть в треть накала (напряжение на каждой из лампочек должно быть равно одной трети от напряжения на батарейке). Помогите Ярославу сконструировать схему электрической цепи, удовлетворяющую как можно большему числу перечисленных требований. Укажите, к каким точкам цепи подсоединяется батарейка. См. конец листка 11

12 3 «Покори Воробьёвы горы!» Задача 31. («Покори Воробьёвы горы!», 2014, 7 9 ) На внешних клеммах цепи, схема которой показана на рисунке, поддерживается постоянное напряжение U = 48 В. Сопротивления всех резисторов в схеме одинаковы и равны R = 10 Ом, сопротивления всех ламп в схеме также можно считать одинаковыми и равными R 1 3R = 30 Ом. К цепи подключены амперметр и вольтметр, которые можно считать практически идеальными (то есть присутствие амперметра практически не влияет на силу тока в его участке цепи, а присутствие вольтметра практически не влияет на напряжение между точками, к которым он подключен), сопротивления соединительных проводов пренебрежимо малы. Найти показания приборов. IA = U 6R = 0,8 А; U V = 2 3 U = 32 В Задача 32. («Покори Воробьёвы горы!», 2015, 7 9 ) Ученик подключил к аккумулятору два резистора с сопротивлениями R 1 = 40 Ом и R 2 = 60 Ом, амперметр и три одинаковых вольтметра по схеме, показанной на рисунке. Амперметр и вольтметры не идеальны в частности, внутренние сопротивления вольтметров равны R V = 0,5 МОм. Амперметр показывает ток I = 0,6 А. Каковы показания вольтметров? Цена деления шкалы у вольтметров V = 0,1 В. V1 1 3 I(2R 1 + R2) = 28 В; V2 1 3 I(R 2 R1) = 4 В; V3 1 3 I(R 1 + 2R2) = 32 В Задача 33. («Покори Воробьёвы горы!», 2015, ) В схеме, изображённой на рисунке, все резисторы одинаковы и их сопротивление R = 100 Ом. Все источники тоже одинаковы, их ЭДС E = 16 В, а их внутренние сопротивления пренебрежимо малы. Амперметр и вольтметр для данной схемы являются практически идеальными. Найти их показания. IA = 2E R = 0,32 A; U V = 0 12

13 4 «Росатом» Задача 34. («Росатом», 2016, 11 ) В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, два из трёх резисторов одинаковы, третий отличается от них. Известно, что показания первого амперметра I 1 = I, второго I 2 = 2I/3. Известно, что сопротивление первого резистора r. Найти сопротивления второго и третьего резисторов. Считать, что сопротивления амперметров равны нулю. R2 = R3 = r/3 или R2 = r, r3 = r/2 13

14 5 «Курчатов» Задача 35. («Курчатов», 2014, 10 ) Школьный амперметр имеет внутреннее сопротивление 10 Ом и может измерять силу тока не больше, чем 20 ма. Резистор с каким сопротивлением и каким образом нужно подключить к амперметру, чтобы предел измерения увеличился в 10 раз? Каково внутреннее сопротивление получившегося прибора? R 1,1 Ом, параллельно; r = r 10 = 1 Ом 14