Статья Тема: «Уравнения высших степеней с параметрами»

то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметром а. А – область изменения параметра. Принято считать, что А – множество действительных чисел. Решить уравнение (1) – значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значения а называются контрольными.

1.2. Использование параметра как равноправной переменной

Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.

Пример 1. Решить уравнение с параметром.

2x 3 – (а+2)х 2 – ах + а 2 = 0 (1)

Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:

а 2 – х(х+1)а – 2х 2 + 2х 3 = 0 (2)

Найдем дискриминант D.

D = х 2 (х+1) 2 – 8(х 3 – х 2 ) = х 4 - 6х 3 + 9х 2 = х 2 (х 2 - 6х + 9) = х 2 (х - 3) 2 .

Найдем корни уравнения (2).

Получим уравнение (а – х 2 + х)(а – 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности

Рассмотрим уравнение х 2 – х – а = 0, D = 1 – 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2

D 0 при а > -1/4 два корня

Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.

Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,

при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х 2 = ½

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.

Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.

x 4 – 10х 3 – 2(а - 11)х 2 + 2(5а + 6)х + 2а + а 2 = 0;

Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.

а 2 + 2а(1 + 5х – х 2 ) + (х 4 – 10х 3 + 22х 2 + 12х) = 0;

D/4 = 1 + 25х 2 + х 4 + 10х – 10х 3 – 2х 2 – х 4 + 10х 3 – 22х 2 – 12х = х 2 – 2х +1 = = (х – 1) 2

Найдем а1 и а2 ; а1 = х 2 -5х – 1 + х – 1 = х 2 - 4х – 2;

а2 = х 2 -5х – 1 - х + 1 = = х 2 – 6х.

Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).

х 2 - 4х – 2 = х 2 – 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.

Ответ: если а -5, то четыре решения.

1. (х 2 – 12а) 2 – 24х 2 + 32х + 96а = 0;
2. (2х 2 – а) 2 – 24х 2 + 16х + 4а = 0;
3. (2х 2 – а) 2 = 13х 2 + 6х – 2а = 0.

На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.

Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.

Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 = 5 иметь 5 корней?

Решение. Обозначим f(x) = 2х 8 – 3ах 6 + 4х 4 – ах 2 . f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Пример 2. При каком значении а уравнение х 10 – а|х| + a 2 – а = 0 имеет единственное решение?

Решение. Обозначим f(x) = х 10 – а|х| + a 2 – а, f(x) – функция четная, поэтому, если х0 – корень данного уравнения, то – х0 – тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х0 = 0. В этом случае из уравнения получим: a 2 – а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,

при а = 0, х 10 = 0, т.е. х = 0 единственное решение.

при а = 1, х 10 - |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.

Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.

1. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – х 4 – ах 2 = 1 иметь три корня?
2. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х 6 – 2ах 4 + 3х 2 = 4 иметь пять корней?
3. При каком значении а уравнение имеет единственное решение?

Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.

Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а 2 х 2 ,

где а – параметр.

Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида

(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх 2 (см. п. 2.5 (3))

Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:

(х 2 + 14ах +24а 2 )( х 2 + 11ах +24а 2 ) = 4а 2 х 2

Если а = 0, то х = 0.

Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.

Разделим обе части этого уравнения на а 2 х 2 , будем иметь

В полученном уравнении сделаем подстановку и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у 2 + 25у + 150 = 0, у1 = - 15, у2 = - 10.

Таким образом, получим два уравнения

Решим первое уравнение х 2 + 15ах + 24а 2 = 0, D = 129a 2 , х1,2

Решим второе уравнение х 2 + 10ах + 24а 2 = 0, D = 4a 2

х 3 = -6а, х 4 = -4а

Ответ: если а = 0, то х = 0если а ≠ 0, то х1,2 , х 3 = -6а, х 4 = -4а