научная статья по теме ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОГО СДВИГА И МНОГОКАНАЛЬНАЯ 5-МАТРИЦА Физика

Текст научной статьи на тему «ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ СПЕКТРАЛЬНОГО СДВИГА И МНОГОКАНАЛЬНАЯ 5-МАТРИЦА»

Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 5, с. 443-447

Дискретное представление функции спектрального сдвига и

В. И. Кукулинг\ В. Н. Померанцев, О. А. Рубцова

Институт ядерной физики Московского государственного университета, 119991 Москва, Россия

Поступила в редакцию 7 июля 2009 г.

После переработки 21 июля 2009 г.

Дано краткое описание нового метода решения многоканальной квантовой задачи рассеяния в широком диапазоне энергий на основе однократной диагонализации матрицы гамильтониана системы в конечномерном базисе. Показано, что сдвиги собственных значений матрицы свободного гамильтониана, возникающие при добавлении матрицы взаимодействия, в области непрерывного спектра непосредственно связаны с парциальными фазовыми сдвигами. В качестве иллюстрации рассматривается двухканальная задача рассеяния со сдвинутыми порогами каналов.

1. Введение. Решение многих важных проблем квантовой физики сводится к решению многоканальной задачи рассеяния, причем часто требуется знать не частное решение при одной определенной энергии, а поведение многоканальной 5-матрицы одновременно во всем или очень широком спектральном диапазоне. Для решения подобных задач мы предлагаем новый эффективный метод, основанный на однократной диагонализации гамильтониана на конечном базисе специального вида. Метод является развитием идей И.М. Лифшица в теории твердого тела и подхода Бирмана-Крейна в математической теории рассеяния.

В 1947 г. И.М.Лифшиц исследовал задачу о возмущении спектра линейного эрмитова оператора под действием вырожденного возмущения произвольной величины [1, 2]. Для рассмотрения возмущения непрерывного спектра он ввел понятие операторов с квазинепрерывным спектром [2]: это семейство опе-

раторов Нд имеющих чисто дискретныи спектр У=1, который может быть аппроксимирован некоторой непрерывной монотонной функцией А(м):

Предел при а 0 дает оператор Щ с непрерывным спектром, покрывающим область значений функции

^ е-таШ kukulinenucl-th.sinp.msu.ru, pomeranenucl-th.sinp.msu.ru

А(и). В [2] было показано, что при добавлении вырожденного конечного (не малого) возмущения V квазинепрерывный спектр возмущенного оператора Н^ + V может быть представлен в виде

Здесь впервые появляется функция £(Е), определяющая локальное изменение спектра эрмитова оператора под действием возмущения, которая позднее получила названия функции спектрального сдвига (ФСС) для пары операторов Щ и Н = Но + V. Предложенный Лифшицем подход позволил решить ряд задач физики твердого тела, связанных с возмущением кристаллической решетки при внесении атомов примеси [3].

Математическая теория функции спектрального сдвига была построена в 60-х годах в работах Бирмана и Крейна [4], где было дано корректное определение £(Е) через так называемый определитель возмущения или детерминант Фредгольма Д(Е), пригодное для более широкого класса возмущений. Одним из важнейших результатов этого развития является формула Бирмана-Крейна, связывающая ФСС £(Е) в области непрерывного спектра невозмущенного гамильтониана Но с оператором рассеяния Б(Е)2Ь

2)3аметим, что уже в первой работе И.М. Лифшица [2] можно увидеть связь между ФСС и фазой рассеяния: полученная им формула (2,5) для tg7r£ фактически совпадает с выражением для тангенса фазового сдвига, отвечающего сепарабельному потенциалу ранга 1.

которая означает, что ФСС с точностью до множителя (—7г) равна фазовому сдвигу рассеяния:

Благодаря явной связи с оператором рассеяния, математическая теория ФСС сыграла важную роль в развитии квантовой теории рассеяния (см. посвященный ФСС обзор [5] и книгу [6]). В дальнейшем, однако, оказалось, что гораздо удобнее изучать свойства 5-матрицы, выражая ее непосредственно через детерминант Фредгольма, поэтому теория ФСС не вошла в большинство классических учебников по квантовой теории рассеяния и, как следствие, мало известна среди физиков.

В настоящей работе мы покажем, что исходное представление Лившица (3) для сдвига собственных значений (СЗ) квазинепрерывного спектра совместно с формулой Бирмана-Крейна (5) может быть напрямую использовано для вычисления фазовых сдвигов через разности собственных значений матриц свободного, Но, и полного (возмущенного), Щ + V, гамильтонианов, диагонализованных на одном и том же конечном Ьг-базисе, без явного привлечения каких-либо уравнений теории рассеяния, а также обобщим эти идеи на многоканальный случай.

2. Одноканальная задача рассеяния. Хотя предлагаемый метод нахождения фазовых сдвигов, как показывают наши расчеты, применим для любого Ьг-базиса, здесь мы будем использовать специальный базис свободных стационарных волновых пакетов (СВП), в котором матрица свободного гамильтониана диагональна [7, 8]. Для этого дискретизуем непрерывный спектр свободного гамильтониана путем введения конечного числа непересекающихся интервалов (бинов) где подразумевается, что узловые точки £, подчиняются некоторому распределению и в пределе N оо покрывают всю область непрерывного спектра. В качестве такого распределения мы будем использовать в данной работе сетку Чебышева:

Стационарный волновой пакет определяется на каждом энергетическом интервале как интеграл от точной функции \фо(Е)) непрерывного спектра Щ:

где = £ $ — £$_1 - ширина бина. Набор состояний ортонормирован и может быть использован как ¿2 базис для вычислений [7, 8]. Основное

удобство такого базиса состоит в том, что матрица гамильтониана Но диагональна3), причем ее СЗ совпадают со средними точками энергетических интервалов Щ = [7]. Таким образом, в случае СВП базиса мы имеем простое выражение для СЗ и интервалов спектра матрицы свободного гамильтониана, что позволяет использовать понятие квазинепрерывного спектра, введенное Лифшицем. Действительно, если ввести функцию распределения узловых точек для чебышевской сетки А(и) = а tg (м) и параметр малости

то легко убедиться, что СЗ Щ матрицы свободного гамильтониана Но удовлетворяют условиям квазинепрерывности (1) и (2) Лифшица относительно параметра а. Поэтому последовательность матричных гамильтонианов с расширением базиса N ^ оо образует семейство операторов с квазинепрерывным относительно а спектром, и для спектра матриц полного (возмущенного) гамильтониана Н^ + У^) в том же базисе можно использовать представление (3) с ФСС.

В результате диагонализации матрицы полного гамильтониана Н = Но + У на СВП-базисе размерности N мы получаем конечный набор собственных значений < Е,>;ч | (упорядоченный в порядке возрастания) и соответствующий ортонормированный набор собственных функций. Если существуют связанные состояния исходного гамильтониана Н (мы предполагаем, что число их Щ конечно), то первые функции из этого набора (с номерами 1 < г < Щ) приближенно описывают эти связанные состояния, причем их СЗ отрицательны. Остальные (положительные) СЗ с Щ<(<И лежат в области непрерывного спектра Н.

3'Также в этом базисе диагональна матрица любого оператора, функционально зависящего от Но, в частности матрица свободной резольвенты.

4^Любое возмущение V на конечном базисе размерности N имеет ранг не выше N.

лог функции спектрального сдвига в соответствии с представлением (3) соотношением

Справедливость такого представления (3), показанная в [2], позволяет утверждать, что при предельном переходе N оо, когда все —^ 0, квазинепрерывные спектры операторов Но и Н переходят в непрерывные, а дискретные спектральные сдвиги переходят в непрерывную ФСС £(Е).

Используя далее явную связь между ФСС и фазовыми сдвигами (5), получаем следующее дискрети-зованное представление для фазовых сдвигов рассеяния:

3 ^ o(l/N), j = l. N-Nb.

Таким образом, в результате однократной диа-гонализации матрицы полного гамильтониана на конечном базисе можно получить не только энергии и функции связанных состояний, но и фазовые сдвиги в широкой области энергий. Если с увеличением размерности базиса расстояния между соседними СЗ матрицы свободного гамильтониана уменьшаются (для базиса СВП это означает уменьшение ширины бинов), то мы будем наблюдать сходимость получающихся дискретных (10) фазовых сдвигов к точным. Это приводит к весьма удобному, практичному и универсальному способу нахождения наблюдаемых в задаче рассеяния.

Мы проверяли представление (10) для фазовых сдвигов для случая самых разных потенциалов: притягивающих (с различным числом связанных состояний) и отталкивающих, локальных и нелокальных,

150 120 90 60 30

_|_I_I_I I I I 11

Рис.1, ¿'-волновые парциальные сдвиги 6 для потенциала Юкавы с глубиной Уо = —1.5 (1) и Уо = —2.5 (2), полученные из дискретизованной ФСС (10) на СВП базисе р

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎