Исследовательская работа учащегося "Старая-старая задача о мостах Кенигсберга"

Кенигсберг – это историческое название Калининграда, центра самой западной области России, знаменитой своим мягким климатом, пляжами и изделиями из янтаря. Калининград обладает богатым культурным достоянием. Здесь в свое время жили и трудились великий философ И. Кант, сказочник Эрнст Теодор Амадей Гофман, физик Франц Нейман и многие другие, чьи имена вписаны в историю науки и творчества. С Кенигсбергом связана одна интересная задача, так называемая задача о мостах Кенигсберга.

Цель нашего исследования: изучить историю возникновения задачи о мостах Кенигберга, рассмотреть её решение, выяснить роль задачи в развитии математики.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

изучить литературу по данной теме;

подобрать задачи в решении которых используется прием решения задачи о мостах Кентгсберга,;

составить библиографический список литературы.

История мостов Кенигсберга

Возникший в XIII веке город Кёнигсберг (ныне Калининград ) состоял из трёх формально независимых городских поселений и ещё нескольких «слобод» и «посёлков». Расположены они были на островах и берегах реки Прегель (ныне Преголя), делящей город на четыре главные части: Альтштадт , Кнайпхоф , Ломзе и Форштадт . Для связи между городскими частями уже в XIV веке стали строить мосты . В связи с постоянной военной опасностью со стороны соседних Польши и Литвы , а также по причине междоусобиц между Кёнигсбергскими городами (в 1454 — 1455 году между городами даже произошла война, вызванная тем, что Кнайпхоф перешёл на сторону Польши, а Альтштадт и Лёбенихт остались верны Тевтонскому ордену ) в Средние века кёнигсбергские мосты имели оборонные качества. Перед каждым из мостов была построена оборонительная башня с закрывающимися подъёмными или двустворчатыми воротами из дуба и с железной кованой обивкой. Да и сами мосты приобретали характер оборонительных сооружений. Опоры некоторых мостов имели пятиугольную форму, типичную для бастионов. Внутри этих опор располагались казематы. Из опор можно было вести огонь через амбразуры.

Мосты были местом шествий, религиозных и праздничных процессий, а в годы так называемого «Первого русского времени» ( 1758 — 1762 годы ), когда во время Семилетней войны Кёнигсберг ненадолго вошёл в состав Российской империи , по мостам проходили православные крестные ходы. Один раз такой крестный ход даже был посвящён православному празднику Водосвятия реки Прегель, вызвавшему неподдельный интерес у жителей Кёнигсберга.

К концу 19 века в Кёнигсберге было построено 7 основных мостов (Приложение 1).

Самый старый из семи мостов Лавочный мост (Krämerbrücke/ Крэмер-брюке). Он был построен в 1286 году. Само название моста говорит само за себя. Площадь, которая прилегала к нему, была местом оживлённой торговли. Он связывал два средневековых города Альтштадт и Кнайпхоф. Построен он был сразу же в камне. В 1900 году он был перестроен и сделан разводным. По мосту стали ходить трамваи. Во время войны он был сильно разрушен, но восстановлен, пока в 1972 году не был демонтирован.

Вторым по возрасту был Зелёный мост (Grüne Brücke/Грюне-брюке) . Он был построен в 1322 году . Этот мост связал остров Кнайпхоф с южным берегом Прегеля. Он так же был каменным и трёхпролётным. В 1907 году мост был перестроен, средний пролёт стал разводным и по нему стали ходить трамваи. Во время войны этот мост сильно пострадал, был восстановлен, а в 1972 году - демонтирован. Название моста происходит от цвета краски, в который традиционно красили опоры и пролётное строение моста. В XVII веке у Зелёного моста гонец раздавал прибывшие в Кёнигсберг письма. В ожидании корреспонденции здесь собирались деловые люди города. Здесь же в ожидании почты они обсуждали свои дела. Неудивительно, что именно в непосредственной близости от Зелёного моста в 1623 году была построена кёнигсбергская торговая биржа . В 1875 году на другом берегу Прегеля, но также в непосредственной близости от Зелёного моста было построено новое здание торговой биржи, сохранившееся до сих пор (ныне Дворец культуры моряков). В 1972 году вместо Зелёного и Лавочного мостов был построен Эстакадный мост.

После Лавочного и Зелёного был построен Рабочий мост (Koettelbrucke/ Кёттель или Киттель-брюке), также соединявший Кнайпхоф и Форштадт. Иногда название также переводят как Потроховой мост. И тот, и другой вариант перевода не является идеальным, так как немецкое название происходит из Саксонии и по-русски означает примерно «рабочий, вспомогательный, предназначенный для провоза мусора» и.т.п. Этот мост был построен в 1377 году . Он соединил город Кнайпхоф с пригородом Форштадт. Мост был наполовину каменным, а пролёты - деревянные настилы. В 1621 году, во время сильного наводнения, мост сорвало и унесло в реку. Мост возвратили на место. В 1886 году его заменили новым, стальным, трёхпролётным, разводным. По нему тоже ходили трамваи. Мост был разрушен во время Второй мировой войны и позднее не восстанавливался.

В 1397 году был построен Кузнечный мост (Schmiedebrücke/Шмиде-брюке). Как и Лавочный мост, он соединял город Альтштадт на северном берегу с островом Кнайпхоф. Название моста характерно для средневекового города, так как кузнецы играли тогда важную роль и были всеми уважаемы. Этот мост тоже был с каменными опорами и деревянными пролётами. В 1896 году его перестроили, пролёты его стали стальными, а вот трамвайные пути обошли стороной. Во время войны он был разрушен. В советское время около опор моста находился плавучий ресторан.

Деревянный мост (Holzbrücke/Хольц-брюке)мост был построен в 1404 году и связал остров Ломзе ( ныне остров Октябрьский) и город Лёбенихт. До этого на северном берегу Нового Прегеля существовала паромная переправа, но, а название уму дали по названию материала, из которого он был сделан. Таким он простоял 500 лет, и только в 1904 году был заменён новым, а вот название осталось прежним. На Деревянном мосту находилась памятная доска с выдержками из «Прусской хроники» Альбрехта Лухела Давида. Этот десятитомный труд повествовал о языческой Пруссии и истории Тевтонского ордена до 1410 года . Очень интересно оформление чугунного ограждения моста - были использованы лесные сюжеты. Мост тоже был разводным, по нему ходили трамваи, во время войны был разрушен, но очень быстро восстановлен. В 60-х годах этот мост попал в кадр в фильме "Отец солдата", который снимали в Калининграде. Мост существует и функционирует до сих пор, правда разводной механизм пришёл в негодность.

Остров Ломзе - это низменная, болотистая местность , часто затопляемая во время половодий. Строительство домов на острове началось с 1455 года и тогда же была заложена ивовая дамба, которая в последствии стала улицей Октябрьской. В 1520 году был построен новый мост через Старый Прегель. Этот мост был выше других мостов из-за дамбы, и поэтому ему дали название Высокий мост (Hohe Brücke/Хоэ-брюке) , который дал городу Альтштадту свой путь в Натангию, минуя остров Кнайпхоф и пригород Форштадт. В 1882 году мост был перестроен, при этом был возведён так называемый «мостовой домик», помещение для механизмов развода моста и т. п. Это красивое небольшое здание в стиле неоготики, несколько напоминающее замок в Диснейленде , сохранилось до сих пор. Сам старый Высокий мост был снесён в 1888 году , а в нескольких десятках метров от него был возведён новый Высокий мост, сохранившийся до сих пор и служащий подспорьем для пешеходов, автомобилей и трамваев . От старого Высокого моста сохранились опоры.

Самый молодой из семи мостов — Медовый мост (Honigbrücke/Хониг-брюке). Этот мост был возведён в 1542 году жителями города Кнайпхоф, в пику городу Альтштадту. Благодаря ему кнайпхофцы получили собственный выезд на остров Ломзе, и далее, через Высокий мост, в Натангию. По этому первоначальное имя моста звучало как "Насмешливый", а позднее Медовый. По преданию, за право владения мостом, хозяин близлежащей лавки расплатился с властями большим количеством мёда. На острове Ломзе перед Медовым мостом находилась площадь - Бычий рынок. На площади стояли фахверковые склады, а за ними особняки с садами. Здесь же находился дом, где жил Кант (1775 - 1783 г.), чтобы Канту попасть на работу, ему достаточно было перейти Медовый мост и свернуть направо, там находился университет "Альбертина". В 1882 году мост был полностью перестроен, средний пролёт стал разводным, перила изготовила фирма "Кузнеца на Печатной". Как и Высокий и Деревянный мосты, Медовый мост сохранился до сих пор, но в отличие от них приобрёл практически исключительно пешеходный характер, так как сейчас на острове Кнайпхоф расположены только кафедральный собор (главная достопримечательность города) и парк скульптур, и проезд частного автотранспорта туда запрещён.

Задача о семи мостах Кенигсберга

Семь мостов Кенигсберга прославились не столько своими уникальными свойствами, сколько старинной неразрешимой головоломкой. Горожане придумали задачу: найти маршрут, который начинался бы и заканчивался в одном месте и проходил по каждому мосту ровно один раз. Многочисленные попытки решить эту задачу, перебирая все маршруты, заканчивались неудачей. Задачей заинтересовался великий математик Леонард Эйлер 16 (Приложение 2). Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года:

"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может". 3

В 1736 году Леонард Эйлер представил в Санкт-Петербургскую академию наук свою работу Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis , содержавшую решение этой задачи.

Для решения задачи Кенигсбергские мосты можно изобразить схематически:Здесь А обозначает остров, а В, С и D – части суши, отделенные друг от друга рукавами реки. Семь мостов обозначены буквами a , b , c , d , e , f , g . 3

Позже Эйлер придумал геометрическую модель к этой задаче 6 . На модели (рис.2) он заменил каждую часть суши точкой ( A , B , C и D ), а мосты – линиями, соединяющими соответствующие точки 16 .

В современной терминологии такая конструкция, состоящая из точек и соединяющих их линий, называется графом, точки – вершинами (или узлами), а линии – ребрами (или ветвями) графа. Граф, любые две вершины которого соединены последовательностью ребер, называется связным. Эйлер обобщил постановку задачи о кенигсбергских мостах и нашел критерий нахождения на графе замкнутого маршрута, содержащего все ребра.

Требование связности очевидно: если имеется изолированная часть графа, то ее не достигнешь и не обойдешь. Далее, для того, чтобы пройти через вершину, зайти по одному ребру и выйти по другому – это два ребра, значит, если ребер нечетное количество, то в очередной раз из вершины нет выхода. Следовательно, число ребер, проходящих через вершину, должно быть обязательно четным 15 .

Число ребер, проходящих через вершину, называется степенью вершины 15 . В своем письме инженеру Маринони Эйлер писал: "Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста" 3 .

То есть нужно определить степень каждой вершины и узнать степени каких вершин четные, а какие нечетные 20 . Обозначим символом r ( P ) степень вершины P 16. Тогда r ( A ) = 5, r ( B ) = r ( C ) = r ( D ) = 3 (рис.2).

"Когда это определено, применяем следующее правило: если все вершины имеют четную степень, то тогда обход, о котором идет речь, возможен, и начать этот обход можно с любого участка. Если же из этих вершин две нечетные, то и тогда можно совершить переход, к ак это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято в одной из этих двух вершин, а конец обхода непременно должен быть во второй нечетной вершине. Если, наконец, больше двух нечетных вершин, то тогда такое движение вообще невозможно. " 3 .

Так как количество нечетных вершин в графе равно 4, а это > 2, то обойти все Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов нельзя.

Из предыдущих рассуждений мы получаем общий прием решения каждой подобной задачи о мостах. Во всяком случае, мы можем сразу убедиться в возможности или невозможности решения. Для этого надо:

1. Нарисовать граф, где вершины – острова и берега, а ребра – мосты. 2.Определить степень каждой вершины и подписать возле нее.3.Посчитать количество вершин с нечетными степенями .4. Обход возможен:

a) ЕСЛИ степени всех вершин – четные, и его можно начать с любого участка.b) ЕСЛИ степени 2 вершин – нечетные, но его нужно начать с одной из нечетных местностей.

5. Обход невозможен, если нечетных вершин больше 2.

6. Сделать вывод.7. Указать Начало и Конец пути.

Кстати, задаче Эйлера обязан своим появлением еще один мост Кенигсберга – мост Кайзера ( Императорский). На одном из светских вечеров кайзеру Вильгельму показали задачу Эйлера и предложили её решить. В духе А.Македонского, разрубившего в своё время Гордиев узел, Вильгельм решил задачу за полторы минуты, просто написав на карте приказ о строительстве нового восьмого моста. Во время войны мост был разрушен, однако к празднованию 750-летия Кёнигсберга-Калининграда мост обрёл новую жизнь под именем "Юбилейный" 23 (Приложение 1)

Позднее в честь великого математика цикл, содержащий все ребра графа, назвали эйлеровой линией (цикл – это замкнутая последовательность ребер и вершин, в которой все ребра различны). Тогда критерий Эйлера можно сформулировать следующим образом: связный граф, степени всех вершин которого четны, обладает эйлеровой линией. Совсем необязательно начинать и заканчивать обход графа в одной и той же вершине, т.е. требование замкнутости можно снять. Тогда требуется, чтобы начало и конец маршрута, содержащего все ребра графа по одному разу, были единственными вершинами графа с нечетными степенями. 16

Мостами Кёнигсберга народная изобретательность в области графов не ограничивалась: существовало (и существует по сей день) множество головоломок, в которых требуется начертить какой-либо сложный рисунок одним росчерком пера, что означает нахождение эйлерова пути. Научные работы этой задаче посвятили швейцарский математик Симон Люилье и французский математик и механик Луи Пуансо.

Как ни странно, до конца XIX века никто не отметил аналогии задачи о мостах Кёнигсберга с чертёжными головоломками. Впервые это сделал британский математик и юрист Вальтер Уильям Рузе Болл в 1892 году 24 .

Вычерчивание фигур одним росчерком 21

Известен анекдот: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру (рис. 3). Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, други­ми словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.

Н адежда стать «миллионе­ром», решив такую легкую зада­чу, может заставить испортить много бумаги и потратить много времени на попытки вычертить эту фигуру, как требовалось, одним рос­черком. Задача, однако, не решается, и это тем до­саднее, что она не решается только «чуть-чуть». Ни­как не удается провести только одной «последней» какой-либо линии. Удается даже открыть секрет, что вся трудность в том, чтобы вычертить сначала одним росчерком, не повторяя линии, еще более простую фигуру —четырехугольник с. двумя диагоналями (рис. 4). Это, казалось бы, уже совсем просто, а все-таки. не удается.

Сомнения в невозможности решения этой задачи все-таки остаются, тем более что фигуры, гораздо более сложные и трудные с виду, легко вычерчива­ются одним росчерком. Так, например, выпуклый пятиугольник со всеми его диагоналями легко вы­черчивается одним непрерывным движением без по­вторения, причем получается фигура, представленная на рис. 4. Т о же самое легко удается со всяким много­угольником с нечетным числом сторон и никак не удается с квадратом, шестиугольником и т. д.— сло­вом, с многоугольником с четным числом сторон.

Теперь нам нетрудно будет разобраться и пока­зать, какую из любых данных фигур можно вычер­тить одним росчерком, без повторений линий, а ка­кую нет. Каждую из задач подобного рода можно свести к разобранной уже нами Эйлеровой задаче о мостах.

В самом деле, возьмем, например, четырехуголь­ник ABCD с двумя его диагоналями, пересекающи­мися в Е (рис. 4). Можно ли его вычертить одним непрерывным росчерком, без повторения линий?

Точки А, В, С, D и Е мы представим себе как центры некоторых местностей, разделенных рекой, а линии, соединяющие эти точки,— как мосты, ведущие в эти местности. Что же в данном случае получаем? Пять местностей, из которых четыре нечетные и одна четная. Мы знаем уже, что в таком случае нельзя за один раз обойти все мосты, не переходя ни через один два раза, или, другими словами, нельзя обойти все данные точки одной непрерывной линией без повторения прежнего пути.

Случаи возможности и невозмож­ности вычерчивания одним росчерком фигур совершенно те же, что и в за­даче о мостах. Одна задача, в сущно­сти, сводится к другой.

Всякий нечетный многоугольник со всеми его диагоналями можно вы­чертить одним росчерком без повторения линий по­тому, что этот случай соответствует тому, когда Дан­ные в задаче о мостах местности все четные.

Соображения, изложенные здесь, одинаково при­лагаются ко всякой фигуре, образована ли она пря­мыми или кривыми линиями, на плоскости или в пространстве. Так нетрудно видеть, что можно описать одним непрерывным движением все ребра правильного октаэдра и нельзя этого сделать для четырех остальных правильных выпуклых тел.

оворят, что Магомет вместо подписи (он был неграмотен) описывал одним росчерком состоящий из двух рогов Луны знак, представленный на рис.5. И это понятно, потому что в данном случае мы имеем дело только с точками рис.5 четного порядка, а следовательно, вычертить такую фигуру одним рос­черком без повторения тех же линий всегда можно. Всегда можно также вычертить одним росчерком и такую фигуру, где, помимо точек четного порядка, есть и две точки (но не более) нечетного порядка. Весьма красивый и замысловатый образчик такой фигуры заключающий в себе две нечетные точки А и Z , показан на рис. 6. С какой-нибудь из этих то­чек и надо начинать непрерывное вычерчивание фи­гуры, как мы уже знаем из задачи о мостах.

Нельзя вычертить одним росчерком фигуры, по­казанные на рис. 7,

ри всей их видимой про­стоте, так как в первой восемь, а во второй — две­надцать точек нечетного порядка. Первая может быть вычерчена не менее как четырехкратной, т. е. состоящей из четырех непрерывных кусков, а вторая— не менее как шестикратной линией.